Question

定义函数f（x）=[x[x]]，其中[x]表示不超过x的最大整数，如：[1.5]=1，[-1.3]=-2，当x∈[0，n）（n∈N^*）时，设函数f（x）的值域为A，记集合A中的元素个数为a_n，则式子

an+90

n

的最小值为（　　）

A．10

B．13

C．14

D．16

Answer 1

分析：根据[x]表示不超过x的最大整数，先由题意先求[x]，再求x[x]，然后再求[x[x]]，得到a_n，进而得到 a_n+90n，用基本不等式即可求出式子

an+90

n

的最小值．

解答：解：根据题意：[x]=

0  x∈[0，1) 1  x∈[1，2)   n-1 x∈[n-1，n)

∴x[x]=

0  x∈[0，1) x  x∈[1，2)   (n-1)x  x∈[n-1，n)

∴[x[x]]在各区间中的元素个数是：0，1，2，3，…，n-1
∴a_n=

n(n-1)

2

∴

an+90

n

=

1

2

(n+

180

n

-1) ≥

180

-

1

2

≈13.4128
∴[

an+90

n

]的最小值为13
故选B

点评：本题考查的知识点是分段函数，集合元素的个数，基本不等式在求函数最值时的应用，其中正确理解函数f（x）=[x[x]]，所表示的意义是解答本题的关键．