Question

求证:分别和两条异面直线AB、CD同时相交的两条直线AC、BD是异面直线.

Answer 1

思路分析:证明两直线是异面直线的常用方法是反证法和判定定理.

证法一:假设AC和BD不是异面直线,则AC和BD在同一平面内,设这个平面为α.

由ACα,CDα知A、B、C、D∈α,故ABα,CDα,这与AB和CD是异面直线矛盾,于是假设不成立,故直线AC和BD是异面直线.

证法二:因为直线AB、AC相交于点A,所以它们确定一个平面为α,如图2-1-11所示,由直线AB和CD是异面直线知Dα,即直线BD过平面α外一点D与平面α内一点B,又

图2-1-11

ACα,BAC,故直线AC和BD是异面直线.

  绿色通道:用反证法证明两条直线异面的一般步骤是:(1)反设:假设结论不成立,则它的反面成立;(2)归缪:由已知条件出发,结合定理、公理、定义等进行正确的推理,推导出与已知条件、定理、公理、定义相矛盾的结论或推出自相矛盾的结论;(3)结论:由矛盾否定假设,从而肯定原结论的正确性.

    反证法是证明两直线异面的常用方法,否定结论后如果产生了多种情况,应由这多种情况都推出矛盾;如果只产生一种(或可合并为一种)情况,直接推出矛盾即可.