Question

【题目】设数列的所有项都是不等于的正数，的前项和为，已知点在直线上（其中常数，且）数列，又.

（1）求证数列是等比数列；

（2）如果，求实数的值；

（3）若果存在使得点和都在直线在上，是否存在自然数，当（）时，恒成立？若存在，求出的最小值；若不存在，请说明理由.

Answer 1

【答案】（1）证明见解析（2），（3）存在自然数，其最小值为

【解析】

（1）由题意把点，、代入直线，整理后得到，由此说明数列是等比数列；

（2）把化为指数式，结合数列是等比数列可求值，再由在直线上，取求得值；

（3）由，知恒成立等价于恒成立．结合存在，，使得点和都在直线在上，推得是首项为正，公差为的等差数列．再由一定存在自然数，使求解自然数的最小值．

（1）证明：，、都在直线上，

，

即，又，且，

为非零常数，即数列是等比数列；

（2）解：由，得，即，得．

由在直线上，得，

令得，；

（3）解：由，知恒成立等价于恒成立．

存在，，使得点和都在直线在上，

，，即，

又，，可得，

又，，

即是首项为正，公差为的等差数列．

一定存在自然数，使，

即，解得，

，．

存在自然数，其最小值为，使得当时，恒成立．