Question

【题目】已知抛物线C1：x2=2py（p＞0），点A（p， ）到抛物线C1的准线的距离为2．
（1）求抛物线C1的方程；
（2）过点A作圆C2：x2+（y﹣a）2=1的两条切线，分别交抛物线于M，N两点，若直线MN的斜率为﹣1，求实数a的值．

Answer 1

【答案】
（1）解：由抛物线定义可得： ，∴p=2，

∴抛物线C1的方程为：x2=4y．

（2）解：设直线AM，AN的斜率分别为k1，k2，

将lAM：y﹣1=k1（x﹣2）代入x2=4y，得：

x2﹣4k1x+8k1﹣4=0， ＞0，

∴k1∈R，且k1≠1，

由韦达定理得：xM=4k1﹣2，同理xN=4k2﹣2，

∴ = （xM+xN）=k1+k2﹣1，

又∵直线lMN：y﹣1=k1（x﹣2）与圆相切，∴ ，

整理可得： ，

同理 ，

∴k1，k2是方程3k2+4k（a﹣1）+a2﹣2a=0的两个根，）

∴k1+k2=﹣ ，代入kMN=k1+k2﹣1=﹣1，

解得a=1．

【解析】（1）由抛物线定义得： ，由此能求出抛物线C1的方程．（2）设直线AM，AN的斜率分别为k1 ， k2 ， 将lAM：y﹣1=k1（x﹣2）代入x2=4y，得：x2﹣4k1x+8k1﹣4=0，由此利用根的判别式、韦达定理、直线与圆相切、点到直线距离公式，能求出结果．