Question

设函数f（x）=x|x|+bx+c，给出下列四个命题：
①当c=0时，f（-x）=-f（x）恒成立
②当b=0，c＞0时，方程f（x）=0只有一个实数根
③函数y=f（x）的图象关于点（0，c）对称
④方程f（x）=0至多有两个实数根．
其中正确例题的序号是

①②③

．

Answer 1

分析：①利用函数奇偶性的定义可判断．②当b=0时，得f（x）=x|x|+c在R上为单调增函数，方程f（x）=0只有一个实根．
③利用函数图象关于点对称的定义，可证得函数f（x）图象关于点（0，c）对称．
④举出反例如c=0，b=-2，可以判断．

解答：解：①当c=0时，函数f（x）=x|x|+bx为奇函数，f（-x）=-f（x）恒成立，故①正确．
②b=0，c＞0时，得f（x）=x|x|+c在R上为单调增函数，且值域为R，故方程f（x）=0，只有一个实数根，故②正确．
③因为f（-x）=-x|x|-bx+c，所以f（-x）+f（x）=2c，可得函数f（x）的图象关于点（0，c）对称，故③正确．
④当c=0，b=-2，f（x）=x|x|-2x=0的根有x=0，x=2，x=-2故④错误．
故答案为：①②③．

点评：本题考查了函数奇偶性、对称性、单调性以及二次函数的图象和性质．对函数奇偶性和单调性的充分理解，并用于二次函数当中，是解决本题的关键．