Question

f（x）是定义在R上的奇函数且满足f（x+2）=f（x），又当x∈（0，1）时f（x）=2^x-1．
（1）求f（x）在x∈（2，3）时的解析式；
（2）求f(log

1

2

6)的值．

Answer 1

分析：（1）由已知中函数f（x）满足f（x+2）=f（x），由当x∈（2，3）时，x-2∈（0，1），结合当x∈（0，1）时f（x）=2^x-1．我们易求出f（x）在x∈（2，3）时的解析式．
（2）根据-3＜log

1

2

6＜-2，由已知中f（x）是定义在R上的奇函数且满足f（x+2）=f（x），我们可得f(log

1

2

6)=f(log

1

2

6+2)=-f（log₂6-2），进而根据对数的运算性质及已知中x∈（0，1）时f（x）=2^x-1，得到答案．

解答：解：（1）∵函数f（x）满足f（x+2）=f（x），
故函数是以2为周期的周期函数
∵当x∈（2，3）时，x-2∈（0，1），
又∵当x∈（0，1）时，f（x）=2^x-1
∴当x∈（2，3）时，f（x）=f（x-2）=2^x-2-1，
（2）∵-3＜log

1

2

6＜-2
∴f(log

1

2

6)=f(log

1

2

6+2)=-f（log₂6-2）=-f(log2

3

2

)=-

1

2

点评：本题考查的知识点是函数的周期性，函数析奇偶性，其中（1）的关键是利用函数图象平移变换的原则，由已知条件求出答案，（2）的关键是根据已知条件，找出与log

1

2

6相关的，介于区间（0，1）上的对应值．