Question

设a为非零实数，偶函数f（x）=x²+a|x-m|+1，x∈R．
（1）求实数m的值；
（2）试确定函数f（x）的单调区间（不需证明）；
（3）若函数f（x）在区间（-3，-2）上存在零点，试求实数a的取值范围．

Answer 1

分析：（1）根据偶函数的定义建立恒等式f（-x）=f（x）在R上恒成立，从而求出m的值即可；
（2）根据函数的解析式，结合二次函数的性质，可分析出的函数的图象与性质，进而得到函数f（x）的单调区间
（3）函数f（x）在区间（-3，-2）上存在零点，根据零点存在定理，可得f（-2）•f（-3）＜0，由此构造关于a的不等式，解不等式即可得到实数a的取值范围．

解答：解：（1）∵f（x）是偶函数，∴f（-x）=f（x）在R上恒成立，
即（-x）²+|-x-m|+1=x²+|x-m|+1，
化简整理，得mx=0在R上恒成立，（3分）
∴m=0．（5分）
（2）由已知，可得f（x）=x²+a|x|+1，
则当a＞0时，递增区间为（0，+∞），递减区间为（-∞，0）
当a＜0时，递增区间为[

a

2

，0]和[-

a

2

，+∞）递减区间（-∞，

a

2

）和（0，

a

2

）
（3）当a＞0时，在区间（-3，-2）上f（x）＞0恒成立，不满足要求；
当a＜0时，若函数f（x）在（-3，-2）上只有一个零点
则f（-2）•f（-3）＜0
即（5+2a）•（10+3a）＜0
解得：-

10

3

＜a＜-

5

2

点评：本题考查的知识点是偶函数，函数的单调性的判断与证明，函数的零点，（1）的关键是根据偶函数的定义，构造关于m的方程，（2）的关键是对a进行分类讨论，（3）的关键是根据零点存在定理，构造关于a的不等式．