Question

2£®Èçͼ£¬ÔÚ¡÷ABCÖУ¬Éè$\overrightarrow{AB}=\overrightarrow a$£¬$\overrightarrow{AC}=\overrightarrow b$£¬APµÄÖеãΪQ£¬BQµÄÖеãΪR£¬CRµÄÖеãΪP£¬Èô$\overrightarrow{AP}=m\vec a+n\vec b$£¬Ôòm¡¢n¶ÔÓ¦µÄֵΪ £¨¡¡¡¡£©

• A£® $\frac{2}{7}£¬\frac{4}{7}$
• B£® $\frac{1}{2}£¬\frac{1}{4}$
• C£® $\frac{1}{6}£¬\frac{2}{7}$
• D£® $\frac{1}{6}£¬\frac{3}{7}$

Answer 1

·ÖÎö ¸ù¾ÝÏòÁ¿¼õ·¨¼°Êý³ËµÄ¼¸ºÎÒâÒå¿ÉÒԵóö$\overrightarrow{BQ}=£¨\frac{m}{2}-1£©\overrightarrow{a}+\frac{n}{2}\overrightarrow{b}$£¬$\overrightarrow{CR}=£¨\frac{m}{4}+\frac{1}{2}£©\overrightarrow{a}+£¨\frac{n}{4}-1£©\overrightarrow{b}$£¬ÕâÑù±ã¿ÉÒÔÇó³ö$\overrightarrow{RQ}£¬\overrightarrow{QP}£¬\overrightarrow{RP}$£¬ÕâÑù¸ù¾Ý$\overrightarrow{RQ}+\overrightarrow{QP}=\overrightarrow{RP}$£¬²¢½øÐÐÏòÁ¿µÄÊý³ËÔËËã±ãµÃµ½$£¨\frac{3m}{4}-\frac{1}{2}£©\overrightarrow{a}+\frac{3n}{4}\overrightarrow{b}=£¨-\frac{m}{8}-\frac{1}{4}£©\overrightarrow{a}+£¨\frac{1}{2}-\frac{n}{8}£©\overrightarrow{b}$£¬ÓÉƽÃæÏòÁ¿»ù±¾¶¨Àí¼´¿É½¨Á¢¹ØÓÚm£¬nµÄ¶þÔªÒ»´Î·½³Ì×飬´Ó¶ø¿ÉÒÔ½â³öm£¬n£®

½â´ð ½â£º¸ù¾ÝÌõ¼þ£¬$\overrightarrow{BQ}=\overrightarrow{AQ}-\overrightarrow{AB}=\frac{1}{2}\overrightarrow{AP}-\overrightarrow{AB}$=$\frac{1}{2}£¨m\overrightarrow{a}+n\overrightarrow{b}£©-\overrightarrow{a}=£¨\frac{m}{2}-1£©\overrightarrow{a}+\frac{n}{2}\overrightarrow{b}$£»
$\overrightarrow{CR}=\overrightarrow{BR}-\overrightarrow{BC}=\frac{1}{2}\overrightarrow{BQ}-\overrightarrow{AC}+\overrightarrow{AB}$=$\frac{1}{2}[£¨\frac{m}{2}-1£©\overrightarrow{a}+\frac{n}{2}\overrightarrow{b}]-\overrightarrow{b}+\overrightarrow{a}$=$£¨\frac{m}{4}+\frac{1}{2}£©\overrightarrow{a}+£¨\frac{n}{4}-1£©\overrightarrow{b}$£»
¡à$\overrightarrow{QP}=\frac{m}{2}\overrightarrow{a}+\frac{n}{2}\overrightarrow{b}$£¬$\overrightarrow{RQ}=£¨\frac{m}{4}-\frac{1}{2}£©\overrightarrow{a}+\frac{n}{4}\overrightarrow{b}$£¬$\overrightarrow{RP}=-£¨\frac{m}{8}+\frac{1}{4}£©\overrightarrow{a}+£¨\frac{1}{2}-\frac{n}{8}£©\overrightarrow{b}$£»
¡ß$\overrightarrow{RQ}+\overrightarrow{QP}=\overrightarrow{RP}$£»
¡à$£¨\frac{3m}{4}-\frac{1}{2}£©\overrightarrow{a}+\frac{3n}{4}\overrightarrow{b}=£¨-\frac{m}{8}-\frac{1}{4}£©\overrightarrow{a}+£¨\frac{1}{2}-\frac{n}{8}£©\overrightarrow{b}$£»
¡à$\left\{\begin{array}{l}{\frac{3m}{4}-\frac{1}{2}=-\frac{m}{8}-\frac{1}{4}}\\{\frac{3n}{4}=\frac{1}{2}-\frac{n}{8}}\end{array}\right.$£»
½âµÃ$\left\{\begin{array}{l}{m=\frac{2}{7}}\\{n=\frac{4}{7}}\end{array}\right.$£®
¹ÊÑ¡£ºA£®

µãÆÀ ¿¼²éÏòÁ¿µÄ¼Ó·¨¡¢¼õ·¨£¬¼°Êý³ËµÄ¼¸ºÎÒâÒ壬ÒÔ¼°ÏòÁ¿µÄÊý³ËÔËË㣬ƽÃæÏòÁ¿»ù±¾¶¨Àí£®