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    如图所示，某市政府决定在以政府大楼O为中心，正北方向和正东方向的马路为边界的扇形地域内建造一个图书馆．为了充分利用这块土地，并考虑与周边环境协调，设计要求该图书馆底面矩形的四个顶点都要在边界上，图书馆的正面要朝市政府大楼．设扇形的半径OM=R，∠MOP=45°，OB与OM之间的夹角为θ．
    （1）将图书馆底面矩形ABCD的面积S表示成θ 的函数．
    （2）求当θ 为何值时，矩形ABCD的面积S有最大值？其最大值是多少？（用含R的式子表示）

    【答案】分析：（Ⅰ）由题意可知，OM⊥AD，设OM于BC的交点为F，可得，化简S=AB•BC的解析式为，．
    （Ⅱ）根据可得当 时，S有最大值．
    解答：解：（Ⅰ）由题意可知，点M为PQ的中点，所以OM⊥AD．
    设OM于BC的交点为F，则BC=2Rsinθ，OF=Rcosθ，．
    所以S=AB•BC=2Rsinθ（Rcosθ-Rsinθ）=R2（2sinθcosθ-2sin2θ）=R2（sin2θ-1+cos2θ）=，．
    （Ⅱ）因为，则．
    所以当 ，即  时，S有最大值.．
    故当 时，矩形ABCD的面积S有最大值．
    点评：本题主要考查二倍角公式的应用，求三角函数的最值，属于中档题．
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    精英家教网如图所示，某市政府决定在以政府大楼O为中心，正北方向和正东方向的马路为边界的扇形地域内建造一个图书馆．为了充分利用这块土地，并考虑与周边环境协调，设计要求该图书馆底面矩形的四个顶点都要在边界上，图书馆的正面要朝市政府大楼．设扇形的半径OM=R，∠MOP=45°，OB与OM之间的夹角为θ．
    （I）将图书馆底面矩形ABCD的面积S表示成θ的函数．
    （II）若R=45m，求当θ为何值时，矩形ABCD的面积S有最大值？其最大值是多少？（精确到0.01m2）

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    科目：高中数学 来源： 题型：

    如图所示，某市政府决定在以政府大楼O为中心，正北方向和正东方向的马路为边界的扇形地域内建造一个图书馆．为了充分利用这块土地，并考虑与周边环境协调，设计要求该图书馆底面矩形的四个顶点都要在边界上，图书馆的正面要朝市政府大楼．设扇形的半径OM=R，∠MOP=45°，OB与OM之间的夹角为θ．
    （1）将图书馆底面矩形ABCD的面积S表示成θ 的函数．
    （2）求当θ 为何值时，矩形ABCD的面积S有最大值？其最大值是多少？（用含R的式子表示）

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    科目：高中数学 来源： 题型：

    如图所示，某市政府决定在以政府大楼O为中心，正北方向和正东方向的马路为边界的扇形地域内建造一个图书馆．为了充分利用这块土地，并考虑与周边环境协调，设计要求该图书馆底面矩形的四个顶点都要在边界上，图书馆的正面要朝市政府大楼．设扇形的半径OM=R，∠MOP=45°，当点B位于何处时，图书馆的占地面积最大，最大面积是多少？

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    科目：高中数学 来源：2011-2012学年江苏省高三高考压轴数学试卷（解析版） 题型：解答题

    如图所示，某市政府决定在以政府大楼为中心，正北方向和正东方向的马路为边界的扇形地域内建造一个图书馆.为了充分利用这块土地，并考虑与周边环境协调，设计要求该图书馆底面矩形的四个顶点都要在边界上，图书馆的正面要朝市政府大楼.设扇形的半径 ，，与之间的夹角为.

    （1）将图书馆底面矩形的面积表示成的函数.

    （2）求当为何值时，矩形的面积有最大值？

    （3）其最大值是多少？(用含R的式子表示)

     

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