Question

【题目】已知函数 ．
（1）当a＞0时，求函数f（x）的单调区间；
（2）若f（x）在[1，e]上的最小值为1，求实数a的取值范围；（其中e为自然对数的底数）；
（3）若 上恒成立，求实数a的取值范围．

Answer 1

【答案】
（1）解：∵f'（x）= （x＞0）

∴f'（x）＞0x＞a，f'（x）＜00＜x＜a

∴f（x）在（0，a）上单调递减，

在（a，+∞）上单调递增

（2）解：∵x∈[1，e]

∴当a≤1时，f'（x）≥0，

∴f（x）在[1，e]上单调递增，

故f（x）min=f（1）=a=1

满足题意

当a≥e时，f'（x）≤0，

∴ a=0（舍去）

当1＜a＜e时，由（1）知f（x）在（1，a）上单调递减，

在（a，e）上单调递增，

故f（x）min=f（a）=lna+1=1a=1（舍去）

综上所述，a=1

（3）解：f（x）＜ x在（1，+∞）上恒成立a＜ ﹣xlnx在（1，+∞）上恒成立

g'（x）=x﹣lnx﹣1

令h（x）=x﹣lnx﹣1h'（x）

=1﹣

当x∈（1，+∞）时，h'（x）＞0

故h（x）在（1，+∞）上单调递增，

所以h（x）＞h（1）=0

，

所以a≤

【解析】（1）由f'（x）= （x＞0），能推导出f（x）的单调区间．（2）由x∈[1，e]，知当a≤1时，f'（x）≥0，故f（x）min=f（1）=a=1；当a≥e时，f'（x）≤0，推导出a=0（舍去）；当1＜a＜e时，推导出a=1（舍去）．综上所述，a=1．（3）f（x）＜ x在（1，+∞）上恒成立a＜ ﹣xlnx在（1，+∞）上恒成立． ，g'（x）=x﹣lnx﹣1．h（x）=x﹣lnx﹣1，h'（x）=1﹣ ．由此进行分类讨论，能求出实数a的取值范围．