分析 (1)当a=$\frac{1}{2}$时,配方得f(x)=-$\frac{1}{2}$•4x+2x+3=-$\frac{1}{2}$(2x-1)2+$\frac{7}{2}$,从而求函数的最值;
(2)化简可得1-a<$\frac{{2}^{x}+3}{{4}^{x}}$,从而令g(x)=$\frac{{2}^{x}+3}{{4}^{x}}$=3(2-x)2+2-x,从而求得.
解答 解:(1)当a=$\frac{1}{2}$时,f(x)=-$\frac{1}{2}$•4x+2x+3=-$\frac{1}{2}$(2x-1)2+$\frac{7}{2}$,
∵x∈[-1,3],
∴2x∈[$\frac{1}{2}$,8],
∴当2x=1,即x=0时,fmax(x)=$\frac{7}{2}$,
当2x=8,即x=3时,fmin(x)=-21;
(2)∵f(x)>0,
∴(a-1)4x+2x+3>0,
∴1-a<$\frac{{2}^{x}+3}{{4}^{x}}$,
令g(x)=$\frac{{2}^{x}+3}{{4}^{x}}$=3(2-x)2+2-x,
∴x∈(-1,3),
∴2-x∈($\frac{1}{8}$,2),
∴3(2-x)2+2-x∈($\frac{11}{64}$,14),
∵当x∈(-1,3),f(x)>0恒成立,
∴1-a≤$\frac{11}{64}$,
故a≥$\frac{53}{64}$;
即实数a的取值范围为[$\frac{53}{64}$,+∞).
点评 本题考查了函数的最值的求法及恒成立问题与最值问题的应用,关键在于独立参数.
科目:高中数学 来源: 题型:填空题
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科目:高中数学 来源: 题型:选择题
A. | 1 | B. | 1,$\frac{\sqrt{2}}{2}$ | C. | -$\frac{\sqrt{2}}{2}$ | D. | 1,-$\frac{\sqrt{2}}{2}$ |
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科目:高中数学 来源: 题型:选择题
A. | x,y,z同号 | B. | y,z同号,且x与它们异号 | ||
C. | y,z同号,x不能确定 | D. | x,y,z的符号均不能确定 |
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科目:高中数学 来源: 题型:解答题
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科目:高中数学 来源: 题型:填空题
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科目:高中数学 来源: 题型:选择题
A. | $\frac{{4+3\sqrt{3}}}{10}$ | B. | $\frac{{4-3\sqrt{3}}}{10}$ | C. | $\frac{{3\sqrt{3}-4}}{10}$ | D. | $\frac{{-3\sqrt{3}-4}}{10}$ |
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A. | {x|-1≤x≤1} | B. | {x|x≥0} | C. | {x|0≤x≤1} | D. | ∅ |
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