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5.函数f(x)=(a-1)4x+2x+3.
(1)当a=$\frac{1}{2}$时,求函数f(x)在[-1,3]的最值.
(2)当x∈(-1,3),f(x)>0恒成立,求实数a的取值范围.

分析 (1)当a=$\frac{1}{2}$时,配方得f(x)=-$\frac{1}{2}$•4x+2x+3=-$\frac{1}{2}$(2x-1)2+$\frac{7}{2}$,从而求函数的最值;
(2)化简可得1-a<$\frac{{2}^{x}+3}{{4}^{x}}$,从而令g(x)=$\frac{{2}^{x}+3}{{4}^{x}}$=3(2-x2+2-x,从而求得.

解答 解:(1)当a=$\frac{1}{2}$时,f(x)=-$\frac{1}{2}$•4x+2x+3=-$\frac{1}{2}$(2x-1)2+$\frac{7}{2}$,
∵x∈[-1,3],
∴2x∈[$\frac{1}{2}$,8],
∴当2x=1,即x=0时,fmax(x)=$\frac{7}{2}$,
当2x=8,即x=3时,fmin(x)=-21;
(2)∵f(x)>0,
∴(a-1)4x+2x+3>0,
∴1-a<$\frac{{2}^{x}+3}{{4}^{x}}$,
令g(x)=$\frac{{2}^{x}+3}{{4}^{x}}$=3(2-x2+2-x
∴x∈(-1,3),
∴2-x∈($\frac{1}{8}$,2),
∴3(2-x2+2-x∈($\frac{11}{64}$,14),
∵当x∈(-1,3),f(x)>0恒成立,
∴1-a≤$\frac{11}{64}$,
故a≥$\frac{53}{64}$;
即实数a的取值范围为[$\frac{53}{64}$,+∞).

点评 本题考查了函数的最值的求法及恒成立问题与最值问题的应用,关键在于独立参数.

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