Question

17．设$α∈（0，\frac{π}{2}）$，$sinα-cosα=\frac{1}{2}$，则$tan（\frac{π}{4}+α）$=-$\sqrt{7}$．

Answer 1

分析 由条件利用同角三角函数的基本关系求得2sinαcosα的值，可得sinα+cosα 的值，再利用两角和的正切公式可得要求的式子即 $\frac{cosα+sinα}{cosα-sinα}$，从而求得结果．

解答 解：设$α∈（0，\frac{π}{2}）$，$sinα-cosα=\frac{1}{2}$，则1-2sinαcosα=$\frac{1}{4}$，∴2sinαcosα=$\frac{3}{4}$．
∴sinα+cosα=$\sqrt{{（sinα+cosα）}^{2}}$=$\sqrt{1+\frac{3}{4}}$=$\frac{\sqrt{7}}{2}$，
∴$tan（\frac{π}{4}+α）$=$\frac{1+tanα}{1-tanα}$=$\frac{cosα+sinα}{cosα-sinα}$=$\frac{\frac{\sqrt{7}}{2}}{-\frac{1}{2}}$=-$\sqrt{7}$，
故答案为：-$\sqrt{7}$．

点评 本题主要考查同角三角函数的基本关系，两角和的正切公式，属于基础题．