Question

设三角形ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，a=4，c=

13

，sinA=4sinB
（1）求b边的长；
（2）求角C的大小．
（3）如果cos(x+C)=

4

5

(-

π

2

＜x＜0)，求sinx．

Answer 1

分析：（1）由a，sinA=4sinB，利用正弦定理求出b的值即可；
（2）利用余弦定理表示出cosC，将三边长代入求出cosC的值，由C为三角形的内角，利用特殊角的三角函数值即可求出C的度数；
（3）将C度数代入已知等式，由x的范围求出x+C的范围，利用同角三角函数间的基本关系求出sin（x+C）的值，所求式子sinx变形为sin[（x+

π

3

）-

π

3

]，利用两角和与差的正弦函数公式及特殊角的三角函数值化简后，将各种的值代入计算即可求出值．

解答：解：（1）∵a=4，sinA=4sinB，
∴由正弦定理

a

sinA

=

b

sinB

得：b=

asinB

sinA

=1；
（2）∵a=4，b=1，c=

13

，
∴cosC=

a2+b2-c2

2ab

=

1

2

，
∵C为三角形的内角，
∴C=

π

3

；
（3）将C=

π

3

代入得：cos（x+

π

3

）=

4

5

，
∵-

π

2

＜x＜0，
∴-

π

6

＜x+

π

3

＜

π

3

，
∴sin（x+

π

3

）=

3

5

或-

3

5

，
则当sin（x+

π

3

）=

3

5

时，sinx=sin[（x+

π

3

）-

π

3

]=

3

5

×

1

2

-

4

5

×

3

2

=

3-4 3

10

；
当sin（x+

π

3

）=-

3

5

时，sinx=sin[（x+

π

3

）-

π

3

]=-

3

5

×

1

2

-

4

5

×

3

2

=

-3-4 3

10

．

点评：此题考查了正弦、余弦定理，同角三角函数间的基本关系，以及两角和与差的正弦函数公式，熟练掌握定理及公式是解本题的关键．