Question

已知P={x|x²-8x-20≤0}，S={x||x-1|≤m}．
（1）是否存在实数m，使x∈P是x∈S的充要条件，若存在，求出m的范围；
（2）是否存在实数m，使x∈P是x∈S的必要条件，若存在，求出m的范围．

Answer 1

分析：（1）x∈P是x∈S的充要条件，表示P=S，根据集合相等的判定方法，我们可以构造一个关于m的方程组，若方程组有解，说明存在实数m，使x∈P是x∈S的充要条件，若方程无解，则说明不存在实数m，使x∈P是x∈S的充要条件；
（2）x∈P是x∈S的必要条件，表示S⊆P，利用集合包含关系，的判定方法，我们可以构造一个关于m的不等式组，解不等式组即可得到m的范围．

解答：解：（1）由题意x∈P是x∈S的充要条件，则P=S．
由x²-8x-20≤0?-2≤x≤10，
∴P=[-2，10]．
由|x-1|≤m?1-m≤x≤1+m，∴S=[1-m，1+m]．
要使P=S，则

1-m=-2 1+m=10

∴

m=3 m=9

∴这样的m不存在．
（2）由题意x∈P是x∈S的必要条件，则S⊆P．
由|x-1|≤m，可得1-m≤x≤m+1，
要使S⊆P，则

1-m≥-2 1+m≤10

∴m≤3．
综上，可知m≤3时，x∈P是x∈S的必要条件．

点评：本题考查的知识点是二次不等式的解法、绝对值不等式的解法，及集合包含关系与充要条件之间的转化，其中解决问题的核心是集合包含关系与充要条件之间的转化原则，即“谁小谁充分，谁大谁必要”