精英家教网 > 高中数学 > 题目详情
设数列{an}的前n项和为Sn,a1=1,且an=
Sn
n
+n-1

(1)证明:数列{an}为等差数列;
(2)求数列{3an}的前n项和Tn
考点:数列的求和,数列递推式
专题:等差数列与等比数列
分析:(1)由an=
Sn
n
+n-1
nan=Sn+n2-n,当n≥2时,(n-1)an-1=Sn-1+(n-1)2-(n-1),两式相减后进行化简,由等差数列的定义即可证明;
(2)由等差数列的通项公式求出an,代入3an进行化简,利用等比数列的前n项和公式求解.
解答: 证明:(1)由an=
Sn
n
+n-1
得,nan=Sn+n2-n
当n≥2时,(n-1)an-1=Sn-1+(n-1)2-(n-1)
两式相减得,nan-(n-1)an-1=an+2n-2,
所以(n-1)(an-an-1)=2(n-1),即an-an-1=2,
又a1=1,所以数列{an}是以1为首项、2为公差的等差数列;
解:(2)由(1)得,an=1+(n-1)×2=2n-1,
则3an=32n-1=
1
3
9n

所以数列{3an}的前n项和Tn=
1
3
×
9(1-9n)
1-9
=
3
8
(9n-1)
点评:本题考查等差数列的定义、通项公式,等比数列的前n项和公式,考查数列的通项an与前n项和为Sn的关系式的应用,属于中档题.
练习册系列答案
相关习题

科目:高中数学 来源: 题型:

空间四边形ABCD中,点M,N分别是AB,CD的中点,且
AB
=
b
AC
=
c
AD
=
d
,则用向量
b
c
d
表示向量
MN
 

查看答案和解析>>

科目:高中数学 来源: 题型:

一个圆形纸片,圆心为O,F为圆内异于O的定点,M是圆周上一动点,把纸片折叠使M与F重合,然后抹平纸片,折痕为CD,设CD与OM交于P,则P的轨迹是(  )
A、双曲线B、圆C、抛物线D、椭圆

查看答案和解析>>

科目:高中数学 来源: 题型:

运行如图所示程序框,若输入n=2015,则输出的a=(  )
A、
4030
4029
B、
2015
4029
C、
4030
4031
D、
2015
4031

查看答案和解析>>

科目:高中数学 来源: 题型:

心理学家分析发现视觉和空间能力与性别有关,某数学兴趣小组为了验证这个结论,从兴趣小组中按分层抽样的方法抽取50名同学(男30女20),给所有同学几何题和代数题各一题,让各位同学自由选择一道题进行解答.选题情况如右表:(单位:人)
几何题代数题总计
男同学22830
女同学81220
总计302050
(1)能否据此判断有97.5%的把握认为视觉和空间能力与性别有关?
(2)经过多次测试后,甲每次解答一道几何题所用的时间在5~7分钟,乙每次解答一道几何题所用的时间在6~8分钟,现甲、乙各解同一道几何题,求乙比甲先解答完的概率.
(3)现从选择做几何题的8名女生中任意抽取两人对她们的答题情况进行全程研究,记甲、乙两女生被抽到的人数为 X,求 X的分布列及数学期望 EX.
附表及公式
P(k2≥k)0.150.100.050.0250.0100.0050.001
k2.0722.7063.8415.0246.6357.87910.828
K2=
n(ad-bc)2
(a+b)(c+d)(a+c)(b+d)

查看答案和解析>>

科目:高中数学 来源: 题型:

若a=20.5,b=log2
2
2
,c=logπ3,则有(  )
A、a>b>c
B、b>a>c
C、c>a>b
D、a>c>b

查看答案和解析>>

科目:高中数学 来源: 题型:

已知直线方程为3x+4y+k=0,圆的方程为x2+y2-6x+5=0.
(1)若直线过圆心,则k=
 

(2)若直线和圆相切,则k=
 

(3)若直线和圆相交,则k的取值范围为:
 

(4)若直线和圆相离,则k的取值范围为:
 

查看答案和解析>>

科目:高中数学 来源: 题型:

平面α截球 O的球面得圆 M,过圆心 M的平面β与α的夹角为
π
6
,且平面β截球 O的球面得圆 N.已知球 O的半径为5,圆 M的面积为9π,则圆 N的半径为(  )
A、3
B、
13
C、4
D、
21

查看答案和解析>>

科目:高中数学 来源: 题型:

函数y=f(x)的定义域为R,若存在常数M>0,使得|f(x)|≥M|x|对一切实数x均成立,则称f(x)为“圆锥托底型”函数.
(1)判断函数f(x)=2x,g(x)=x3是否为“圆锥托底型”函数?并说明理由.
(2)若f(x)=x2+1是“圆锥托底型”函数,求出M的最大值.

查看答案和解析>>

同步练习册答案
关 闭