Question

设数列{a_n}的前n项和为S_n，a₁=1，且a_n=

Sn

n

+n-1．
（1）证明：数列{a_n}为等差数列；
（2）求数列{3^a_n}的前n项和T_n．

Answer 1

考点：数列的求和,数列递推式

专题：等差数列与等比数列

分析：（1）由a_n=

Sn

n

+n-1得nan=Sn+n2-n，当n≥2时，(n-1)an-1=Sn-1+(n-1)2-(n-1)，两式相减后进行化简，由等差数列的定义即可证明；
（2）由等差数列的通项公式求出a_n，代入3^a_n进行化简，利用等比数列的前n项和公式求解．

解答： 证明：（1）由a_n=

Sn

n

+n-1得，nan=Sn+n2-n，
当n≥2时，(n-1)an-1=Sn-1+(n-1)2-(n-1)，
两式相减得，na_n-（n-1）a_n-1=a_n+2n-2，
所以（n-1）（a_n-a_n-1）=2（n-1），即a_n-a_n-1=2，
又a₁=1，所以数列{a_n}是以1为首项、2为公差的等差数列；
解：（2）由（1）得，a_n=1+（n-1）×2=2n-1，
则3^a_n=3^2n-1=

1

3

•9n，
所以数列{3^a_n}的前n项和T_n=

1

3

×

9(1-9n)

1-9

=

3

8

(9n-1)．

点评：本题考查等差数列的定义、通项公式，等比数列的前n项和公式，考查数列的通项a_n与前n项和为S_n的关系式的应用，属于中档题．