Question

设函数y=sinx定义域为[a，b]，值域为[-1，

1

2

]，则以下四个结论正确的是（　　）
①b-a的最小值为

2π

3

；②b-a的最大值为

4π

3

；③a不可能等于2kπ-

π

6

（k∈Z）；④b不可能等于2kπ-

π

6

（k∈Z）．

A．①、②、③、④

B．②、③、④

C．①、②、③

D．①、②、④

Answer 1

分析：先做出正弦函数一个周期内的图象，由图和

π

6

、

5π

6

、

3π

2

的正弦值进行判断，对于③、④给k确定的值求出对应的a和b的值，再求出函数此时的值域进行说明．

解答：解：作出y=sinx一个周期内的图象：

∵函数的值域为[-1，

1

2

]，且sin

π

6

=sin

5π

6

=

1

2

，sin

3π

2

=-1，
∴①、定义域[a，b]中b-a的最小值为：

3π

2

-

5π

6

=

4π

6

=

2π

3

，故①正确；
②、定义域[a，b]中b-a的最大值为2π+

π

6

-

5π

6

=

4π

3

，故②正确，
③、当a=-

π

6

时，函数的最大值是1，故③正确；
④、当b=

11π

6

，a=

π

6

时，函数的值域不变，故④不对；
故选C．

点评：本题考查了正弦函数的定义域和值域的关系，需要画出图象，在结合特殊角的三角函数进行判断，一般可用通过举特殊的例子判断是否正确，这是常用的方法．