Question

【题目】已知椭圆的离心率为，长轴长为．

（Ⅰ）求椭圆的方程；

（Ⅱ）若直线与椭圆交于，两点，坐标原点在以为直径的圆上，于点．试求点的轨迹方程．

Answer 1

【答案】（Ⅰ）（Ⅱ）．

【解析】

（Ⅰ）根据离心率得定义，长轴的定义，以及a，b，c的关系即可求出椭圆得标准方程；

（Ⅱ）设出A，B点的坐标，直线l方程，再令直线l方程与椭圆方程联立，求出，，根据且OA⊥OB（O为坐标原点），OH⊥AB于H点．用参数表示H点坐标，把参数消掉，即可得到点H的轨迹方程．

（Ⅰ）由题意知，，，．

故椭圆的方程为．

（Ⅱ）设，

⑴若轴，可设，因，则．

由，得，即．

若轴，可设，同理可得．

⑵当直线的斜率存在且不为0时，设，

由，消去得．

则．

．

由，得．

故 ，即（*）．

由，可知直线的方程为．

联立方程组，得（记为②）．

代入（*）式，化简得．

综合⑴⑵，可知点的轨迹方程为．