Question

设函数f（x）=2^x+cosα-2^-x+cosα，x∈R，且f（1）=

3

4

．
（1）求α的取值的集合；
（2）若当0≤θ≤

π

2

时，f（mcosθ）+f（1-m）＞0恒成立，求实数m的取值范围．

Answer 1

分析：（1）由于f（1）=2^1+cosα-2^-1+cosα=

3

4

，可得 2^cosα=

1

2

，解得cosα=-1，由此可得 α的取值的集合．
（2）由（1）知，f（x）=2^x-1-2^-x-1，在R上为增函数，且为奇函数．由所给的不等式可得 f（mcosθ）＞f（m-1），故有m（cosθ-1）＞-1．分θ=0时，和0＜θ≤

π

2

时两种情况，分别求得m的范围，再取交集，即得所求．

解答：解：（1）由于函数f（x）=2^x+cosα-2^-x+cosα，x∈R，且f（1）=2^1+cosα-2^-1+cosα=

3

4

，
∴2^cosα=

1

2

，解得cosα=-1，∴α的取值的集合{α|α=2kπ+π k∈z}．
（2）由（1）知，f（x）=2^x-1-2^-x-1，在R上为增函数，且为奇函数．
∵当0≤θ≤

π

2

时，f（mcosθ）+f（1-m）＞0恒成立，∴f（mcosθ）＞f（m-1），
∴mcosθ＞m-1，m（cosθ-1）＞-1．
当θ=0时，cosθ=1，m∈R．
当0＜θ≤

π

2

时，0≤cosθ＜1，m＜

1

1-cosθ

．再由

1

1-cosθ

≥1，可得 m＜1．
综上，实数m的取值范围为（-∞，1）．

点评：本题主要考查函数的奇偶性和单调性的应用，指数方程和其它不等式的解法，属于中档题．