Question

【题目】已知直线：与轴相交于点，点坐标为，过点作直线的垂线，交直线于点.记过、、三点的圆为圆.

（1）求圆的方程；

（2）求过点与圆相交所得弦长为8的直线方程.

Answer 1

【答案】（1）；（2）和.

【解析】分析：根据过、、三点的圆即为以为直径的圆，所以的中点为圆心，半径为为的一半。

（2）先讨论直线斜率不存在，在讨论直线斜率存在，则直线方程，利用所求直线与圆相交所得弦长为8，由垂径定理，表示出圆心到所求直线的距离，再求解斜率。

详解：（1）由已知，

依题意，圆的圆周角，

所以过、、三点的圆即为以为直径的圆，

所以，圆的的圆心为的中点，

因为，所以圆的半径为，

所以圆的方程为.

（2）因为所求直线与圆相交所得弦长为8，

由垂径定理，圆的圆心到所求直线的距离为，

易知，直线满足题意，

由已知，直线：，

解得点的坐标为，

设斜率存在且满足题意的直线方程为，即，

则圆心到直线的距离为，

令，解得，

所以，所求直线方程为和.