【题目】已知函数.
(1)讨论函数的单调区间;
(2)若, 恒成立,求的取值范围.
【答案】(1)(2)
【解析】试题分析:(1) 求出函数的导数,通过讨论 的范围, 得增区间, 得减区间; (2)问题转化为,讨论 的范围,根据函数的单调性求出 的最小值即可求出 的范围.
试题解析:(1).
(i)当时, ,函数在上单调递增;
(ii)当时,令,则,
当,即,函数单调递增;
当,即时,函数单调递减.
综上,当时,函数在上单调递增;当时,函数的单调递增区间是,单调递减区间是.
(2)令,由(1)可知,函数的最小值为,所以,即.
恒成立与恒成立等价,
令,即,则.
①当时, .(或令,则
在上递增,∴,∴在上递增,∴.
∴).
∴在区间上单调递增,
∴,
∴恒成立.
②当时,令,则,
当时, ,函数单调递增.
又, ,
∴存在,使得,故当时, ,即,故函数在上单调递减;当时, ,即,故函数在上单调递增,
∴,
即, 不恒成立,
综上所述, 的取值范围是.
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【题目】如图所示,已知圆的圆心在直线上,且该圆存在两点关于直线对称,又圆与直线相切,过点的动直线与圆相交于两点,是的中点,直线与相交于点.
(1)求圆的方程;
(2)当时,求直线的方程;
(3)是否为定值?如果是,求出其定值;如果不是,请说明理由.
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【题目】某车间为了制作某个零件,需从一块扇形的钢板余料(如图1)中按照图2的方式裁剪一块矩形钢板,其中顶点、在半径上,顶点在半径上,顶点在上, , .设,矩形的面积为.
(1)用含的式子表示, 的长;
(2)试将表示为的函数;
(3)求的最大值.
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【题目】已知圆满足:①圆心在第一象限,截轴所得弦长为2;②被轴分成两段圆弧,其弧长的比为;③圆心到直线的距离为.
(Ⅰ)求圆的方程;
(Ⅱ)若点是直线上的动点,过点分别做圆的两条切线,切点分别为, ,求证:直线过定点.
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【题目】对于函数,若在定义域内存在实数,满足,则称为“局部奇函数”.
为定义在上的“局部奇函数”;
曲线与轴交于不同的两点;
若为假命题, 为真命题,求的取值范围.
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【题目】一个盒子中装有5张编号依次为1、2、3、4、5的卡片,这5 张卡片除号码外完全相同.现进行有放回的连续抽取2 次,每次任意地取出一张卡片.
(1)求出所有可能结果数,并列出所有可能结果;
(2)求事件“取出卡片号码之和不小于7 或小于5”的概率.
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