Question

【题目】如图，四棱锥P﹣ABCD的底面是直角梯形，AB∥CD，AB⊥AD，△PAB和△PAD是两个边长为2的正三角形，DC=4，O为BD的中点，E为PA的中点． （Ⅰ）求证：PO⊥平面ABCD；
（Ⅱ）求证：OE∥平面PDC；
（Ⅲ）求面PAD与面PBC所成角的大小．

Answer 1

【答案】证明：（Ⅰ）设F为DC的中点，连接BF，则DF=AB ∵AB⊥AD，AB=AD，AB∥DC，
∴四边形ABFD为正方形，
∵O为BD的中点，
∴O为AF，BD的交点，
∵PD=PB=2，
∴PO⊥BD，
∵ = ，
∴ = ， ，
在三角形PAO中，PO2+AO2=PA2=4，∴PO⊥AO，
∵AO∩BD=O，∴PO⊥平面ABCD
（Ⅱ）证明：由（Ⅰ）知PO⊥平面ABCD，又AB⊥AD，所以过O分别做AD，AB的平行线，以它们做x，y轴，以OP为z轴建立如图所示的空间直角坐标系，

由已知得：A（﹣1，﹣1，0），B（﹣1，1，0），D（1，﹣1，0）F（1，1，0），C（1，3，0）， ， ，
则 ， ， ， ．
∴
∴OE∥PF
∵OE平面PDC，PF平面PDC，
∴OE∥平面PDC；
（Ⅲ）解：设平面PAD的法向量为 ，
则 ，即 ，
解得 ，
设平面PBC的法向量为
同理可得
则 ，∴面PAD与面PBC所成角的大小为

【解析】（Ⅰ）由条件先证明四边形ABFD为正方形，由等腰三角形的性质证明PO⊥BD，由勾股定理求得PO⊥AO，从而证得PO⊥平面ABCD．（Ⅱ）过O分别做AD，AB的平行线，以它们做x，y轴，以OP为z轴建立如图所示的空间直角坐标系，求出 可得 OE∥PF，从而证得OE∥平面PDC． （Ⅲ）求出平面PAD的法向量、平面PBC的法向量，利用向量的夹角公式即可求面PAD与面PBC所成角的大小．