Question

已知直线l₁：（1+λ）x+y+2λ+1=0（λ∈R），直线l₂过点A（-3，2），B（-1，3）．
（1）若l₁⊥l₂，求直线l₁的方程；
（2）若直线l₁和线段AB有交点，求λ的取值范围．

Answer 1

分析：（1）先根据经过两点的直线的斜率公式，计算出直线l₂的斜率，再根据l₁⊥l₂，垂直直线的斜率之积等于-1，得到直线l₁的斜率，从而求出λ的值，得到直线l₁的方程；
（2）化简直线l₁的方程为：λ（x+2）+（x+y+1）=0，得到直线l₁恒过定点P（-2，1），再分别求出PA、PB的斜率，根据直线l₁和线段AB有交点，通过观察直线l₁的倾斜角的变化，得到直线l₁的斜率的取值范围，最终得到实数λ的取值范围．

解答：解：（1）直线l₂的斜率为k=

3-2

-1-(-3)

=

1

2

，
∵l₁⊥l_2，
所以直线l₁的斜率为k₁=-2⇒-（1+λ）=-2⇒λ=1
故直线l₁的方程是：2x+y+3=0；
（2）由题意得，直线l₁：（1+λ）x+y+2λ+1=0（λ∈R），即λ（x+2）+（x+y+1）=0，
因此直线l₁恒过定点P（-2，1），
∵PA的斜率为KPA=

1-2

-2-(-3)

=-1，
PB的斜率为KPB=

1-3

-2-(-1)

=2，
且直线l₁和线段AB有交点，
∴直线l₁的斜率在小于或等于-1，或大于或等于

1

2

的范围内
即-（1+λ）≤-1或-（1+λ）≥2
解之得λ≥0或λ≤-3．

点评：本题借助于两条直线的位置关系和动直线与线段有交点的讨论，着重考查了直线的基本量和基本形式，以及直线的相互关系等知识点，属于基础题．