Question

（1）解不等式|x²-9|≤x+3．
（2）设x，y，z∈R⁺且x+2y+3z=1，求x²+y²+z²的最小值．

Answer 1

考点：绝对值三角不等式,基本不等式在最值问题中的应用

专题：不等式的解法及应用

分析：（1）由不等式可得

x+3≥0 -x-3≤x2-9≤x+3

，由此求得不等式的解集．
（2）利用题中条件：“x+5y+3z=1”构造柯西不等式：（x²+y²+z²）×（1+25+9 ）≥（x+5y+3z）²这个条件进行计算即可．

解答： 解：（1）由不等式|x²-9|≤x+3，可得

x+3≥0 -x-3≤x2-9≤x+3

，
求得 2≤x≤4，或x=-3，故不等式的解集为{x|2≤x≤4，或x=-3}．
（2）∵x，y，z∈R⁺且x+2y+3z=1，∴14=1+4+9，
∴14×（x²+y²+z²）=（x²+y²+z²）×（1+4+9 ）≥（x+2y+3z）²=1
可得：x²+y²+z²≥

1

14

，当且仅当x=

y

2

=

z

3

=

1

14

时，等号成立，
即x²+y²+z²的最小值为

1

14

．

点评：本题主要考查绝对值不等式的解法，用综合法证明不等式，关键是利用：（x²+y²+z²）×（1+4+9 ）≥（x+2y+3z）²，属于基础题．