Question

已知数列{a_n}满足：a1=

1

3

，且对任意的正整数m、n，都有a_m+n=a_m•a_n，若数列{a_n}的前n项和为S_n，则

lim

n→∞

Sn等于（　　）

• A．

  1

  2

• B．

  2

  3

• C．

  3

  2

• D．2

Answer 1

分析：根据a1=

1

3

和a_m+n=a_m•a_n得出数列{a_n}的通项公式，判断数列{a_n}为等比数列，进而表示出数列的前n项和，最后得出答案．

解答：解：数列{a_n}满足：a1=

1

3

，且对任意正整数m，n都有a_m+n=a_m•a_n
∴a₂=a₁₊₁=a₁•a₁=

1

9

，a_n+1=a_n•a₁=

1

3

an，
∴数列{a_n}是首项为

1

3

，公比为

1

3

的等比数列．

lim

n→∞

Sn=

lim

n→∞

（a₁+a₂+…+a_n）=

a1

1-q

=

1

2

，
故选A．

点评：本题主要考查了等比数列的前n项的和．无穷等比数列公比的绝对值小于1的数列的极限的求法．