Question

已知正方体ABCD-A₁B₁C₁D₁，O是下底面对角线AC和BD的交点，求证：
（1）B₁O∥平面A₁DC₁
（2）平面A₁DC₁⊥平面BB₁D₁D．

Answer 1

考点：平面与平面垂直的判定,直线与平面平行的判定

专题：空间位置关系与距离

分析：（1）设A₁C₁∩B₁D₁=O₁，连结DO₁，由已知条件推导出DOB₁O₁是平行四边形，由此能证明B₁O∥面A₁DC₁．      
（2）由已知得DD₁⊥A₁C₁，A₁C₁⊥面B₁D₁BD，由此能证明平面A₁DC₁⊥平面BB₁D₁D．

解答： （本题14分）
证明：（1）设A₁C₁∩B₁D₁=O₁，连结DO₁，
∵ABCD-A₁B₁C₁D₁是正方体，
∴B₁BDD₁是平行四边形，
∴B₁D₁∥BD且B₁D₁=BD…（3分）
又O₁，O分别是B₁D₁，BD的中点，
∴O₁B₁∥DO且O₁B₁=DO，∴DOB₁O₁是平行四边形…（5分）
∴B₁O∥DO₁，DO₁?面A₁DC₁，B₁O?面A₁DC₁，
∴B₁O∥面A₁DC₁．…（8分）      
（2）∵DD₁⊥面A₁B₁C₁D₁，
∴DD₁⊥A₁C₁…（10分）
又∵A₁C₁⊥B₁D₁，
∴A₁C₁⊥面B₁D₁BD…（12分）
又A₁C₁?平面A₁DC₁，
∴平面A₁DC₁⊥平面BB₁D₁D．…（14分）

点评：本题考查直线与平面平行的证明，考查平面与平面垂直的证明，解题时要认真审题，注意空间思维能力的培养．