Question

【题目】已知f（x）=ax﹣lnx（x∈（0，e]），其中e是自然常数，a∈R.
（Ⅰ）当a=1时，求f（x）的单调区间和极值；
（Ⅱ）是否存在实数a，使f（x）的最小值是3，若存在，求出a的值；若不存在，说明理由．

Answer 1

【答案】解：（I）当a=1时，f（x）=x﹣lnx， 则
且x∈（0，e]得x∈[1，e）单调递增；
且x∈（0，e]得x∈（0，1）单调递减；
当x=1时取到极小值1；
（II）
①当a≤0时，f′（x）＜0，f（x）在x∈（0，e）上单调递减f（e）＜0，与题意不符；
②当a＞0时，f′（x）=0的根为
当 时， ，解得a=e2
③当 时，f′（x）＜0，f（x）在x∈（0，e）上单调递减f（e）＜0，与题意不符；）
综上所述a=e2
【解析】（I）把a=1代入原函数，求出其导函数，即可求f（x）的单调性、极值；（II）先求出其导函数，通过分类讨论分别求出导数为0的根，以及单调性和极值，再与f（x）的最小值是3相结合，即可得出结论．
【考点精析】解答此题的关键在于理解利用导数研究函数的单调性的相关知识，掌握一般的,函数的单调性与其导数的正负有如下关系： 在某个区间内，(1)如果，那么函数在这个区间单调递增；(2)如果，那么函数在这个区间单调递减，以及对函数的极值与导数的理解，了解求函数的极值的方法是:（1）如果在附近的左侧,右侧,那么是极大值（2）如果在附近的左侧,右侧,那么是极小值．