【题目】设 ,向量
=(cosα,sinα),
.
(1)证明:向量 与
垂直;
(2)当| |=|
|时,求角α.
【答案】
(1)证明:由向量 =(cosα,sinα),
,
得| |=1,
=1,则
,
所以向量 与
垂直
(2)解:将| |=|
|两边平方,化简得3(|
|2﹣|
|2)+8
,
由| |=
=1,得
,即
.
所以 ,注意到
,得
【解析】(1)计算| |,
,通过计算
,证明向量
与
垂直;(2)将|
|=|
|两边平方,平方可得3(|
|2﹣|
|2)+8
,从而得到以
,然后求角α.
【考点精析】解答此题的关键在于理解数量积表示两个向量的夹角的相关知识,掌握设、
都是非零向量,
,
,
是
与
的夹角,则
,以及对数量积判断两个平面向量的垂直关系的理解,了解若平面
的法向量为
,平面
的法向量为
,要证
,只需证
,即证
;即:两平面垂直
两平面的法向量垂直.
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【题目】已知甲、乙两个容器,甲容器容量为,装满纯酒精,乙容器容量为
,其中装有体积为
的水(
:单位:
).现将甲容器中的液体倒人乙容器中,直至甲容器中液体倒完或乙容器盛满,搅拌使乙容器中两种液体充分混合,再将乙容器中的液体倒人甲容器中直至倒满,搅拌使甲容器中液体充分混合,如此称为一次操作,假设操作过程中溶液体积变化忽略不计.设经过
次操作之后,乙容器中含有纯酒精
(单位:
),下列关于数列
的说法正确的是( )
A. 当时,数列
有最大值
B. 设,则数列
为递减数列
C. 对任意的,始终有
D. 对任意的,都有
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【题目】已知椭圆:
(
)与
轴交于
,
两点,
为椭圆
的左焦点,且
是边长为2的等边三角形.
(Ⅰ)求椭圆的方程;
(Ⅱ)设直线与椭圆
交于
,
两点,点
关于
轴的对称点为
(
与
不重合),则直线
与
轴交于点
,求
面积的取值范围.
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【题目】潍坊文化艺术中心的观光塔是潍坊市的标志性建筑,某班同学准备测量观光塔的高度
(单位:米),如图所示,垂直放置的标杆
的高度
米,已知
,
.
(1)该班同学测得一组数据:
,请据此算出
的值;
(2)该班同学分析若干测得的数据后,发现适当调整标杆到观光塔的距离(单位:米),使
与
的差较大,可以提高测量精确度,若观光塔高度为136米,问
为多大时,
的值最大?
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【题目】已知左、右焦点分别为的椭圆
与直线
相交于
两点,使得四边形
为面积等于
的矩形.
(1)求椭圆的方程;
(2)过椭圆上一动点
(不在
轴上)作圆
的两条切线
,切点分别为
,直线
与椭圆
交于
两点,
为坐标原点,求
的面积
的取值范围.
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【题目】已知为坐标原点,设动点
.
(1)当时,若过点
的直线
与圆
:
相切,求直线
的方程;
(2)当时,求以
为直径且被直线
截得的弦长为2的圆的方程;
(3)当时,设
,过点
作
的垂线,与以
为直径的圆交于点
,垂足为
,试问:线段
的长是否为定值?若为定值,求出这个定值;若不为定值,请说明理由.
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