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20.设△ABC的内角A,B,C所对应的边分别为a,b,c,已知$\frac{a+b}{sin(A+B)}$=$\frac{a-c}{sinA-sinB}$.
(Ⅰ)求角B;
(Ⅱ)若cosA=$\frac{{\sqrt{6}}}{3}$,且△ABC的面积为$\frac{{3\sqrt{2}+\sqrt{3}}}{2}$,试求sinC和a的值.

分析 (Ⅰ)利用三角形内角和定理可得$\frac{a+b}{sinC}$=$\frac{a-c}{sinA-sinB}$.由正弦定理可得a2+c2-b2=ac,由余弦定理可得cosB=$\frac{1}{2}$,结合范围B∈(0,π)可得B的值.
(Ⅱ)由cosA=$\frac{{\sqrt{6}}}{3}$,可求sinA=$\frac{\sqrt{3}}{3}$,利用sinC=sin(A+B)可求sinC的值,利用三角形面积公式可求ab=6,①,又由正弦定理,比例性质可求3a=2b,②联立即可得解a的值.

解答 (本题满分14分)
解:(Ⅰ)∵$\frac{a+b}{sin(A+B)}$=$\frac{a+b}{sinC}$=$\frac{a-c}{sinA-sinB}$.
∴由正弦定理可得:$\frac{a+b}{c}=\frac{a-c}{a-b}$,整理可得:a2+c2-b2=ac,
∴由余弦定理可得:cosB=$\frac{{a}^{2}+{c}^{2}-{b}^{2}}{2ac}$=$\frac{ac}{2ac}$=$\frac{1}{2}$,
∴由B∈(0,π),可得:B=$\frac{π}{3}$.…..(6分)
(Ⅱ)∵cosA=$\frac{{\sqrt{6}}}{3}$,
∴可得:sinA=$\frac{\sqrt{3}}{3}$,
∴sinC=sin(A+B)=sinAcosB+cosAsinB=$\frac{\sqrt{3}}{3}×\frac{1}{2}+\frac{\sqrt{6}}{3}×\frac{\sqrt{3}}{2}$=$\frac{3\sqrt{2}+\sqrt{3}}{6}$.
∵△ABC的面积为$\frac{{3\sqrt{2}+\sqrt{3}}}{2}$=$\frac{1}{2}absinC$=$\frac{1}{2}×ab×$$\frac{3\sqrt{2}+\sqrt{3}}{6}$,可解得:ab=6,①
又∵$\frac{a}{b}=\frac{sinA}{sinB}$=$\frac{\frac{\sqrt{3}}{3}}{\frac{\sqrt{3}}{2}}$=$\frac{2}{3}$,整理可得:3a=2b,②
∴由①②解得:a=2.…(14分)

点评 本题主要考查了三角形内角和定理,正弦定理,余弦定理,三角形面积公式,比例性质的应用,考查了转化思想和计算能力,属于中档题.

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