Question

（本题满分14分） 如图(1)在等腰中，D，E，F分别是AB，AC和BC边的中点，，现将沿CD翻折成直二面角A-DC-B.(如图(2))
        
（I）试判断直线AB与平面DEF的位置关系，并说明理由；
（II）求二面角E-DF-C的余弦值；
（III）在线段BC是否存在一点P，但APDE？证明你的结论.

Answer 1

解：（Ⅲ）在线段BC上不存在点P，使AP⊥DE，………………………  9分
证明如下：在图2中, 作AG⊥DE,交DE于G交CD于Q由已知得
∠AED＝120°，于是点G在DE的延长线上，从而Q在DC的延长线
上，过Q作PQ⊥CD交BC于P∴PQ⊥平面ACD ∴PQ⊥DE  
∴DE⊥平面APQ∴AP⊥DE.但P在BC的延长线上。………………… 12分
【法二】（Ⅱ）以点D为坐标原点，直线DB、DC为x轴、y轴，建立空间直角坐标系，

设CD＝a，则AC＝BC＝2a , AD＝DB＝则A（0，0，），B（，0，0）， C（0，.………………………  5分
取平面CDF的法向量为设平面EDF的法向量为，
则 得，…………6分
，……………………………………… 7分
所以二面角E—DF—C的余弦值为；…………………………… 8分
【解】（Ⅲ）设，
又， ………………………………………  9分
 ………………………11分
把，可知点P在BC的延长线上
所以在线段BC上不存在点P使AP⊥DE. ……………………………………………… 12分

略