Question

已知椭圆C的方程是

x2

a2

+

y2

b2

=1（a＞b＞0），点A，B分别是椭圆的长轴的左、右端点，
左焦点坐标为（-4，0），且过点P ( 

3

2

，  

5

2

3

)．
（Ⅰ）求椭圆C的方程；
（Ⅱ）已知F是椭圆C的右焦点，以AF为直径的圆记为圆M，试问：过P点能否引圆M的切线，若能，求出这条切线与x轴及圆M的弦PF所对的劣弧围成的图形的面积；若不能，说明理由．

Answer 1

分析：（Ⅰ）由题设知a²=b²+16，即椭圆的方程为

x2

b2+16

+

y2

b2

=1，由点( 

3

2

，  

5

2

3

)在椭圆上，知

9

4(b2+16)

+

75

4b2

=1，由此能求出椭圆C的标准方程．
（Ⅱ）由A（-6，0），F（4，0），P ( 

3

2

，  

5

2

3

)，知

AP

= ( 

15

2

，  

5

2

3

)，

FP

= ( -

5

2

，  

5

2

3

)，所以

AP

•

.

FP

=0，以AF为直径的圆M必过点P，因此，过P点能引出该圆M的切线，设切线为PQ，交x轴于Q点，又AF的中点为M（-1，0），则显然PQ⊥PM，由此能求出所求的图形面积．

解答：解：（Ⅰ）因为椭圆C的方程为

x2

a2

+

y2

b2

=1，（a＞b＞0），∴a²=b²+16，
即椭圆的方程为

x2

b2+16

+

y2

b2

=1，∵点( 

3

2

，  

5

2

3

)在椭圆上，∴

9

4(b2+16)

+

75

4b2

=1，
解得b²=20或b²=-15（舍），由此得a²=36，
所以，所求椭圆C的标准方程为

x2

36

+

y2

20

=1．（6分）
（Ⅱ）由（Ⅰ）知A（-6，0），F（4，0），又P ( 

3

2

，  

5

2

3

)，则得

AP

= ( 

15

2

，  

5

2

3

)，

FP

= ( -

5

2

，  

5

2

3

)
所以

AP

•

.

FP

=0，即∠APF=90°，△APF是Rt△，所以，以AF为直径的圆M必过点P，因此，过P点能引出该圆M的切线，设切线为PQ，交x轴于Q点，又AF的中点为M（-1，0），则显然PQ⊥PM，
而kPM=

5 2 3 -0

3 2 -(-1)

=

3

，所以PQ的斜率为-

3

3

，
因此，过P点引圆M的切线方程为：y-

5 3

2

=-

3

3

(x-

3

2

)，即x+

3

 y-9=0
令y=0，则x=9，∴Q（9，0），又M（-1，0），
所以^ ，S扇形MPF=

1

2

×5×5×

π

3

=

25π

6

因此，所求的图形面积是S=S_△PQM-S_扇形MPF=

25 3

2

-

25π

6

=

75 3 -25π

6

．

点评：本题考查直线和圆锥曲线的位置关系，解题时要认真审题，仔细解答，注意合理地进行等价转化．