Question

若圆过点且与直线相切，设圆心的轨迹为曲线，、为曲线上的两点，点，且满足.

（1）求曲线的方程；

（2）若，直线的斜率为，过、两点的圆与抛物线在点处有共同的切线，求圆的方程；

（3）分别过、作曲线的切线，两条切线交于点，若点恰好在直线上，求证：与均为定值.

Answer 1

21.解：（1）依题意,点到定点的距离等于到定直线的距离，所以点的轨迹为抛物线，曲线的方程为；       …………………………………………………………3分

（2）直线的方程是,即，

由得点、的坐标是或，………………………………5分

当、时，由得,，

 所以抛物线在点处切线的斜率为，

直线的方程为，即…………①

线段的中点坐标为，中垂线方程为，即…………②

由①、②解得，       …………………………………………………………7分

于是，圆的方程为，

即  ， ………………………………………………………8分

当、时，抛物线在点处切线的斜率为，此时切线与垂直，所求圆为以为直径的圆，可求得圆为，  ……9分

（3）设，,，过点的切线方程为，

即，同理可得，所以,，……10分

又=，所以直线的方程为，

即,亦即,所以，………………………………………11分

而,，所以

.               …………………………………13分