Question

9．如图，在平面直角坐标系xOy中，圆O：x²+y²=4与y轴的正半轴交于点A，以A为圆心的圆x²+（y-2）²=r²（r＞0）与圆O交于B、C两点．
（1）求$\overrightarrow{AB}$•$\overrightarrow{AC}$的取值范围；
（2）设P是圆O上异于B、C的任一点，直线PB、PC与y轴分别交于点M、N，求S_△POM•S_△PON的最大值．

Answer 1

分析 （1）将两圆方程联立$\left\{\begin{array}{l}{{x}^{2}+{y}^{2}=4}\\{{x}^{2}+（y-2）^{2}={r}^{2}}\end{array}\right.$，得y=2-$\frac{{r}^{2}}{4}$（r＞0）．A（2，0）
根据对称性可得x_B=-x_C，y_B=y_C，$\overrightarrow{AB}$•$\overrightarrow{AC}$=（x_B，y_B-2）•（x_c，y_c-2）=x_Bx_C+y_By_c-2（y_B+y_c）+4
=-${{x}_{B}}^{2}+{{y}_{B}}^{2}-2（{y}_{B}+{y}_{C}）+4$=$\frac{1}{8}（{r}^{2}-{4}^{2}）-2$．根据r的范围可求解．
（2））设P₀（x₀，y₀），B（x_B，y_B），C（-x_B，y_B），且x₀²+y₀²=4，x_B²+y_B²=4，
则直线PB：y-y₀=$\frac{{y}_{0}-{y}_{B}}{{x}_{0}-{x}_{B}}（x-{x}_{B}）$，则直线PC：y-y₀=$\frac{{y}_{0}-{y}_{B}}{{x}_{0}+{x}_{B}}（x-{x}_{0}）$，令x=0，得y_M=$\frac{{x}_{0}{y}_{B}-{y}_{0}{x}_{B}}{{x}_{0}-{x}_{B}}$，y_N=$\frac{{x}_{0}{y}_{B}+{y}_{0}{x}_{B}}{{x}_{0}+{x}_{B}}$，由S_△POM•S_△PON=$\frac{1}{2}$|x₀|•|y_M|$•\frac{1}{2}$•|x₀|•|y_N|=$\frac{1}{4}$|${{x}_{0}}^{2}$|•|y_M•y_N|=x₀²求解．

解答 解：（1）将两圆方程联立$\left\{\begin{array}{l}{{x}^{2}+{y}^{2}=4}\\{{x}^{2}+（y-2）^{2}={r}^{2}}\end{array}\right.$，得y=2-$\frac{{r}^{2}}{4}$（r＞0）．A（2，0）
根据对称性可得x_B=-x_C，y_B=y_C
∴$\overrightarrow{AB}$•$\overrightarrow{AC}$=（x_B，y_B-2）•（x_c，y_c-2）=x_Bx_C+y_By_c-2（y_B+y_c）+4
=-${{x}_{B}}^{2}+{{y}_{B}}^{2}-2（{y}_{B}+{y}_{C}）+4$=$\frac{1}{8}（{r}^{2}-{4}^{2}）-2$．
∵0＜r＜4，∴0＜r²＜16，
∴$\overrightarrow{AB}$•$\overrightarrow{AC}$的取值范围为[-2，16]．
（2）设P₀（x₀，y₀），B（x_B，y_B），C（-x_B，y_B），
且x₀²+y₀²=4，x_B²+y_B²=4
则直线PB：y-y₀=$\frac{{y}_{0}-{y}_{B}}{{x}_{0}-{x}_{B}}（x-{x}_{B}）$．
则直线PC：y-y₀=$\frac{{y}_{0}-{y}_{B}}{{x}_{0}+{x}_{B}}（x-{x}_{0}）$
令x=0，得y_M=$\frac{{x}_{0}{y}_{B}-{y}_{0}{x}_{B}}{{x}_{0}-{x}_{B}}$，y_N=$\frac{{x}_{0}{y}_{B}+{y}_{0}{x}_{B}}{{x}_{0}+{x}_{B}}$．
y_My_N=$\frac{{{x}_{0}}^{2}{{y}_{B}}^{2}-{{y}_{0}}^{2}{{x}_{B}}^{2}}{{{x}_{0}}^{2}-{{x}_{B}}^{2}}=\frac{4（{{x}_{0}}^{2}-{{x}_{B}}^{2}）}{{{x}_{0}}^{2}-{{x}_{B}}^{2}}=4$．
∴S_△POM•S_△PON=$\frac{1}{2}$|x₀|•|y_M|$•\frac{1}{2}$•|x₀|•|y_N|=$\frac{1}{4}$|${{x}_{0}}^{2}$|•|y_M•y_N|=x₀²≤4
∴S_△POM•S_△PON的最大值为4．

点评 本题考查了椭圆的方程，向量的范围，面积的最值，运算能力的考查，属于中档题