Question

已知数列{a_n}满足a₁=2,a_n+1·a_n(n∈N₊).
(1)求a₂,a₃,并求数列{a_n}的通项公式.
(2)设c_n=,求证:c₁+c₂+c₃+…+c_n<.

Answer 1

(1)a_n=n²·2ⁿ(n∈N₊)   (2)见解析

解析【解题指南】解答第(1)题的关键是根据a_n+1=2a_n(n∈N₊)证明数列为等比数列.第(2)题证明的关键是选准放缩的标准.
解:(1)因为a₁=2,a_n+1=2·a_n(n∈N₊),
所以a₂=2×·a₁=16,a₃=2×·a₂=72.
又因为=2·,n∈N₊,所以为等比数列.
所以=·2^n-1=2ⁿ,所以a_n=n²·2ⁿ(n∈N₊).
(2)c_n==,
所以c₁+c₂+c₃+…+c_n=+++…+<+++·
=+·<+·=+==<=,所以结论成立.