【题目】有一个游戏:盒子里有个球,甲,乙两人依次轮流拿球(不放回),每人每次至少拿一个,至多拿三个,谁拿到最后一个球就算谁赢。若甲先拿,则下列说法正确的有:
__________.
①若,则甲有必赢的策略;②若,则乙有必赢的策略;
③ 若,则乙有必赢的策略;④若,则甲有必赢的策略。
【答案】①②④
【解析】
对每一个选项逐一判断,前面3个可以举反例说明其是错误的,对最后一个要正面分析推理.
先证明以下事实:
当遇到盒中球数为3、4、5时,先拿者赢。
证明:不妨设甲先拿,因为最后为一个球,所以当球数为3时,甲先拿1个,乙只能拿一个,最后甲拿1个赢。当球数为4时,甲先拿2个,乙只能拿一个,最后甲拿1个赢。当n=5时,甲先拿3个即可赢。
当球数5时,甲先拿3个,乙只能拿一个,最后甲拿1个赢。证完。
由已证命题可知①正确。
当n=6时,无论甲先拿几个球皆输。因为若甲先拿1个,则还剩5个,据上述命题这时乙必赢;若甲先拿2个,则还剩4个,据上述命题这时乙必赢;若甲先拿3个,则还剩3个,据上述命题这时乙必赢;所以②正确。
当n=7时,乙不能必赢。反例:当甲先拿1个时,还剩6个,由②知甲赢。所以③错误。
当n=9时,甲先拿3个,还剩6个,据②知甲赢。所以④正确。
综上,应填①②④.
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【题目】随着中国经济的加速腾飞,现在手有余钱的中国家庭数量越来越多,在房价居高不下股市动荡不定的形势下,为了让自己的财富不缩水,很多家庭选择了投资理财.为了了解居民购买理财产品的情况,理财公司抽样调查了该市2018年10户家庭的年收入和年购买理财产品支出的情况,统计资料如下表:
年收入x(万元) | 20 | 40 | 40 | 60 | 60 | 60 | 70 | 70 | 80 | 100 |
年理财产品支出y(万元) | 9 | 14 | 16 | 20 | 21 | 19 | 18 | 21 | 22 | 23 |
(1)由该样本的散点图可知y与x具有线性相关关系,请求出回归方程;(求时利用的准确值,,的最终结果精确到0.01)
(2)若某家庭年收入为120万元,预测某年购买理财产品的支出.(参考数据:,,,)
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【题目】目前,新型冠状病毒感染的肺炎疫情防控形势严峻.口罩的市场需求一直居高不下.为了保障防疫物资供应,潍坊的口罩企业加足马力保生产,上演了一场与时间赛跑的“防疫阻击战”.潍坊市坊子区一家口罩生产企业拥有1000平方米洁净车间,配备国际领先的自动化生产线5条,技术骨干20余人.自疫情发生以来,该企业积极响应政府号召,保障每天生产一次性无纺布健康防护口罩5万只左右.现从生产的大量口罩中抽取了100只作为样本,检测一项质量指标值,该项质量指标值落在区间[20,40)内的产品视为合格品,否则视为不合格品,如图是样本的频率分布直方图.
(1)求图中实数a的值;
(2)企业将不合格品全部销毁后,对合格品进行等级细分:质量指标值落在区间[25,30)内的定为一等品,每件售价2.4元;质量指标值落在区间[20,25)或[30,35)内的定为二等品,每件售价为1.8元;其他的合格品定为三等品,每件售价为1.2元.
用该组样本中一等品、二等品、三等品各自在合格品中的频率代替从所有产品中抽到一件相应等级产品的概率.若有一名顾客随机购买2只口罩支付的费用为X(单位:元).求X的分布列和数学期望.
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【题目】已知点为圆的圆心, 是圆上的动点,点在圆的半径上,且有点和上的点,满足, .
(1)当点在圆上运动时,求点的轨迹方程;
(2)若斜率为的直线与圆相切,直线与(1)中所求点的轨迹交于不同的两点, , 是坐标原点,且时,求的取值范围.
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【题目】在平面直角坐标系中,直线的参数方程为(为参数),曲线的参数方程为(为参数),曲线与轴交于两点.以坐标原点为极点,轴正半轴为极轴建立极坐标系.
(1)求直线的普通方程及曲线的极坐标方程;
(2)若直线与曲线在第一象限交于点,且线段的中点为,点在曲线上,求的最小值.
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【题目】设a,b,c为实数,f(x)=(x+a)(x2+bx+c),g(x)=(ax+1)(cx2+bx+1).记集合S={x|f(x)=0,x∈R},T={x|g(x)=0,x∈R}.若{S},{T}分别为集合S,T 的元素个数,则下列结论不可能的是( )
A.{S}=1且{T}=0B.{S}=1且{T}=1C.{S}=2且{T}=2D.{S}=2且{T}=3
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【题目】盒子内有3个不同的黑球,5个不同的白球.
(1)全部取出排成一列,3个黑球两两不相邻的排法有多少种?
(2)从中任取6个球,白球的个数不比黑球个数少的取法有多少种?
(3)若取一个白球记2分,取一个黑球记1分,从中任取5个球,使总分不少于7分的取法有多少种?
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【题目】假设关于某设备的使用年限x(年)和所支出的维修费用y万元有如下的统计资料:
x | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 |
y | 2.2 | 3.8 | 5.5 | 6.5 | 7.0 |
(1)画出散点图并判断是否线性相关;
(2)如果线性相关,求线性回归方程;
(3)估计使用年限为10年时,维修费用是多少?
附注:①参考公式:回归方程中斜率和截距的最小二乘估计分别为;
②参考数据:
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【题目】近年来,我国自主研发的长征系列火箭的频频发射成功,标志着我国在该领域已逐步达到世界一流水平.火箭推进剂的质量为,去除推进剂后的火箭有效载荷质量为,火箭的飞行速度为,初始速度为,已知其关系式为齐奥尔科夫斯基公式:,其中是火箭发动机喷流相对火箭的速度,假设,,,是以为底的自然对数,,.
(1)如果希望火箭飞行速度分别达到第一宇宙速度、第二宇宙速度、第三宇宙速度时,求的值(精确到小数点后面1位).
(2)如果希望达到,但火箭起飞质量最大值为,请问的最小值为多少(精确到小数点后面1位)?由此指出其实际意义.
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