Question

已知抛物线E：x²=4y，直线l过点M（0，2）且与抛物线交于A、B两点，直线OA、OB分别与抛物线的准线l交于C、D．
（1）若点P是抛物线上任意一点，点P在直线l上的射影为Q，求证：PQ=PM；
（2）求证：为定值；
（3）求CD的最小值．

Answer 1

【答案】分析：（1）设P（x，+），抛物线E：x²=4y的准线方程l为y=-1．由点P在直线l上的射影为Q，知PQ=+，由M（0，2），知PM==+，由此能够证明PQ=PM．
（2）由题设知直线AB的斜率一定存在，设AB：y=kx+2，由，得x²-4kx-8=0，设A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），则x₁+x₂=4k，x₁•x₂=-8，y₁y₂=（kx₁+2）（kx₂+2）=k²x₁x₂+2k（x₁+x₂）+4=-8k²+8k²+4=4，由此能够证明为定值．
（3）由A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），O（0，0），C，D都在直线l：y=-1上，知，D（-），故CD=||===，由此能求出CD的最小值．
解答：解：（1）∵点P是抛物线上任意一点，
∴设P（x，+），
抛物线E：x²=4y的准线方程l为y=-1．
∵点P在直线l上的射影为Q，
∴PQ=+，
∵M（0，2），∴PM==+，
∴PQ=PM．
（2）证明：由题设知直线AB的斜率一定存在，设AB：y=kx+2，
由，得x²-4kx-8=0，
设A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），则
x₁+x₂=4k，x₁•x₂=-8，
y₁y₂=（kx₁+2）（kx₂+2）=k²x₁x₂+2k（x₁+x₂）+4=-8k²+8k²+4=4，
∵=（x₁，y₁），=（x₂，y₂），
∴=-8+4=-4．
故为定值-4．
（3）∵A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），O（0，0），
∴直线AO：，直线BO：，
∵C，D都在直线l：y=-1上，
∴，D（-），
∴CD=||=
=
==
==2，
∴当k=0时，CD取最小值2．
点评：本题考查直线与抛物线的位置关系的应用，考查运算求解能力，推理论证能力；考查化归与转化思想．综合性强，难度大，有一定的探索性，对数学思维能力要求较高，是高考的重点．解题时要认真审题，仔细解答．