Question

【题目】已知函数 存在互不相等实数a，b，c，d，有f（a）=f（b）=f（c）=f（d）=m．现给出三个结论：
⑴m∈[1，2）；
⑵a+b+c+d∈[e﹣3+e﹣1﹣2，e﹣4﹣1），其中e为自然对数的底数；
⑶关于x的方程f（x）=x+m恰有三个不等实根．
正确结论的个数为（　　）
A.0个
B.1个
C.2个
D.3个

Answer 1

【答案】C
【解析】解：作出函数 的图象如图，

若直线y=m与函数y=f（x）的图象相交于四个不同的点，由图可知m∈[1，2），

故（1）正确；

设y=m与函数y=f（x）的交点自左至右依次为a，b，c，d，

由﹣2﹣lnx=1，得x=e﹣3，由﹣2﹣lnx=2，得x=e﹣4，

∴c∈（e﹣4，e﹣3]，

又﹣2﹣lnc=2+lnd，∴cd=e﹣4，

∴a+b+c+d=﹣2+c+ 在（e﹣4，e﹣3]上是递减函数，

∴a+b+c+d∈[e﹣3+e﹣1﹣2，e﹣4﹣1），

故（2）正确；

设斜率为1的直线与y=lnx+2相切于（x0，lnx0+2），

则由 ，可得x0=1，则切点为（1，2），

此时直线方程为y﹣2=1×（x﹣1），即y=x+1，

∴当m=1时，直线y=x+m与函数y=f（x）有4个不同交点，即关于x的方程f（x）=x+m有四个不等实根，

故（3）错误．

∴正确结论的个数是2个．

故选：C．

作出分段函数的图象，根据数形结合，逐个分析可得出（1）（2）为正确结论.