Question

已知正四棱柱ABCD-A₁B₁C₁D₁的底面边长AB=6，侧棱长AA1=2

7

，它的外接球的球心为O，点E是AB的中点，点P是球O的球面上任意一点，有以下判断，
（1）PE长的最大值是9；（2）三棱锥P-EBC的最大值是

32

3

；（3）存在过点E的平面，截球O的截面面积是3π；（4）三棱锥P-AEC₁体积的最大值是20．
正确的是

 

．

Answer 1

分析：（1）先求出球的半径，然后求PE的长+半径；
（2）P到平面EBC的距离+半径就是P到平面EBC的距离最大值；
（3）求出截球O的截面面积是3π，可以判断（3）的正确性
（4）三棱锥P-AEC₁体积的表达式，再求最大值；判断（4）的正确性．

解答：解：由题意可知球心在体对角线的中点，直径为：

62+62+(2 7 )2

=10
半径是5，（1）PE长的最大值是：5+

52-32

=9，正确；
（2）P到平面EBC的距离最大值是5+

52-(3 2 )2

=5+

7

，错误；
（3）球的大圆面积是25π，过E与球心连线垂直的平面是小圆，面积为9π，因而（3）是错误的．
（4）三棱锥P-AEC₁体积的最大值是V=

1

3

S△AEC1•h=

1

3

×

1

2

×3×8×5=20（h最大是半径）正确．
故答案为：（1）（4）

点评：本题考查棱柱的结构特征，点、到线、到面的距离，体积问题，外接体问题，是中档题．