Question

（2013•江门一模）已知椭圆C的中心在原点O，离心率e=

3

2

，右焦点为F(

3

，0)．
（1）求椭圆C的方程；
（2）设椭圆的上顶点为A，在椭圆C上是否存在点P，使得向量

OP

+

OA

与

FA

共线？若存在，求直线AP的方程；若不存在，简要说明理由．

Answer 1

分析：（1）设椭圆C的方程为

x2

a2

+

y2

b2

=1(a＞b＞0)，由离心率焦点坐标可得及

c

a

=

3

2

，c=

3

，再根据a²=b²+c²，联立方程组解出即可；
（2）假设椭圆C上是存在点P（x₀，y₀），使得向量

OP

+

OA

与

FA

共线，由向量共线及点P在椭圆上得方程组，解出可得点P坐标，进而可求得直线AP方程；

解答：解：（1）设椭圆C的方程为

x2

a2

+

y2

b2

=1(a＞b＞0)，
∵椭圆C的离心率e=

3

2

，右焦点为F(

3

，0)，∴

c

a

=

3

2

，c=

3

，
∵a²=b²+c²，∴a=2，b=1，c=

3

，
故椭圆C的方程为

x2

4

+y2=1．       
（2）假设椭圆C上是存在点P（x₀，y₀），使得向量

OP

+

OA

与

FA

共线，
∵

OP

+

OA

=(x0，y0+1)，

FA

=(-

3

，1)，∴

x0

- 3

=

y0+1

1

，即x0=-

3

(y0+1)，（1）
又∵点P（x₀，y₀）在椭圆

x2

4

+y2=1上，∴

x02

4

+y02=1（2），
由（1）、（2）组成方程组解得

x0=0 y0=-1

，或

x0=- 8 3 7 y0= 1 7

，
∴P（0，-1），或P(-

8 3

7

，

1

7

)，
当点P的坐标为（0，-1）时，直线AP的方程为x=0，
当点P的坐标为P(-

8 3

7

，

1

7

)时，直线AP的方程为

3

x-4y+4=0，
故椭圆上存在满足条件的点P，直线AP的方程为x=0或

3

x-4y+4=0．

点评：本题考查直线与圆锥曲线的位置关系、椭圆方程的求解及向量共线问题，考查学生分析问题解决问题的能力．