Question

3．已知函数f（x）=4sin²x+4$\sqrt{2}$sinxcosx
（Ⅰ）求函数f（x）的最小正周期和递增区间；
（Ⅱ）求函数f（x）的图象的对称中心的坐标．

Answer 1

分析 （I）利用降次公式和二倍角公式，化简f（x）=4sin（2x-$\frac{π}{6}$）+2，由此得到最小正周期．令2kπ-$\frac{π}{2}$≤2x-$\frac{π}{6}$≤2kπ+$\frac{π}{2}$，解出x的范围即是函数的增区间．
（II）令2x-$\frac{π}{6}$=kπ，解出x的值即是对称中心的横坐标，由此得到对称中心的坐标．

解答 解：f（x）=4sin²x+4$\sqrt{2}$sinxcosx=4×$\frac{1-cos2x}{2}$+2$\sqrt{3}$sin2x=2$\sqrt{3}$sin2x-2cos2x+2=4sin（2x-$\frac{π}{6}$）+2．
（Ⅰ）函数f（x）的最小正周期T=$\frac{2π}{2}$=π．
由2kπ-$\frac{π}{2}$≤2x-$\frac{π}{6}$≤2kπ+$\frac{π}{2}$，k∈Z，得kπ-$\frac{π}{6}$≤x≤kπ+$\frac{π}{3}$，k∈Z，
∴函数f（x）的单调递增区间是得[kπ-$\frac{π}{6}$，kπ+$\frac{π}{3}$]，k∈Z，
（Ⅱ）由2x-$\frac{π}{6}$=kπ，k∈Z，得x=$\frac{kπ}{2}$+$\frac{π}{12}$，k∈Z，
∴函数f（x）的图象的对称中心的坐标是（$\frac{kπ}{2}$+$\frac{π}{12}$，2），k∈Z．

点评 本题考查了二倍角公式和三角函数的化简，以及正弦函数的单调性和三角函数的对称中心，属于中档题