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已知Sn是正数数列{an}的前n项和,S12,S22、…、Sn2…,是以3为首项,以1为公差的等差数列;数列{bn}为无穷等比数列,其前四项之和为120,第二项与第四项之和为90.(1)求an、bn;(2)从数列{}中能否挑出唯一的无穷等比数列,使它的各项和等于.若能的话,请写出这个数列的第一项和公比?若不能的话,请说明理由.
【答案】分析:(1)根据{Sn2}是以3为首项,以1为公差的等差数列求出通项公式,得到Sn,然后根据an=进行求解,根据{bn}是等比数列,求出首项和公比即可求出bn
(2)设可以挑出一个无穷等比数列{cn},首项为c1=(p,公比为(k,(p、k∈N),它的各项和等于=,建立等式关系,讨论p和k的大小,从而求出满足条件的等比数列.
解答:解:(1){Sn2}是以3为首项,以1为公差的等差数列;所以Sn2=3+(n-1)=n+2
因为an>0,所以Sn=(n∈N)(2分)
当n≥2时,an=Sn-Sn-1=-
又a1=S1=,所以an=(n∈N) (4分)
设{bn}的首项为b1,公比为q,则有(6分)
所以,所以bn=3n(n∈N)(8分)
(2)=(n,设可以挑出一个无穷等比数列{cn},首项为c1=(p,公比为(k,(p、k∈N),它的各项和等于=,(10分)
则有,所以(p=[1-(k],(12分)
当p≥k时3p-3p-k=8,即3p-k(3k-1)=8,因为p、k∈N,所以只有p-k=0,k=2时,
即p=k=2时,数列{cn}的各项和为. (14分)
当p<k时,3k-1=8.3k-p,因为k>p右边含有3的因数,而左边非3的倍数,不存在p、k∈N,
所以唯一存在等比数列{cn},首项为,公比为,使它的各项和等于.(16分)
点评:本题主要考查了数列的通项公式,以及等比数列的求和等有关知识,属于中档题.
练习册系列答案
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科目:高中数学 来源: 题型:

(2005•金山区一模)已知Sn是正数数列{an}的前n项和,S12,S22、…、Sn2…,是以3为首项,以1为公差的等差数列;数列{bn}为无穷等比数列,其前四项之和为120,第二项与第四项之和为90.(1)求an、bn;(2)从数列{
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.若能的话,请写出这个数列的第一项和公比?若不能的话,请说明理由.

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科目:高中数学 来源: 题型:

(本小题满分12分)

(理)已知Sn是正数数列{an}的前n项和,S12S22、……、Sn……,是以3为首项,以1为公差的等差数列;数列{bn}为无穷等比数列,其前四项之和为120,第二项与第四项之和为90.

(I)求anbn;(II)从数列{}中能否挑出唯一的无穷等比数列,使它的各项和等于.若能的话,请写出这个数列的第一项和公比?若不能的话,请说明理由.

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科目:高中数学 来源: 题型:

已知Sn是正数数列{an}的前n项和,S12,S22、……、Sn2 ……,是以3为首项,以1为公差的等差数列;数列{bn}为无穷等比数列,其前四项之和为120,第二项与第四项之和为90。

(1)求an、bn;

(2)从数列{}中能否挑出唯一的无穷等比数列,使它的各项和等于。若能的话,请写出这个数列的第一项和公比?若不能的话,请说明理由。

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科目:高中数学 来源: 题型:

已知Sn是正数数列{an}的前n项和,S12、S22、…、Sn2、…是以3为首项,以1为公差的等差数列;数列{bn}为无穷等比数列,其前四项之和为120,第二项与第四项之和为90.

(Ⅰ)求an和bn

(Ⅱ)试从数列{}中挑出一些项构成一个无穷等比数列,使它的各项和等于,并指出所挑数列的首项和公比.

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科目:高中数学 来源:2009-2010年上海市华东师大二附中高三数学综合练习试卷(06)(解析版) 题型:解答题

已知Sn是正数数列{an}的前n项和,S12,S22、…、Sn2…,是以3为首项,以1为公差的等差数列;数列{bn}为无穷等比数列,其前四项之和为120,第二项与第四项之和为90.(1)求an、bn;(2)从数列{}中能否挑出唯一的无穷等比数列,使它的各项和等于.若能的话,请写出这个数列的第一项和公比?若不能的话,请说明理由.

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