Question

20．平面xOy内，动点P到点F（$\sqrt{2}$，0）的距离与它到直线x=2$\sqrt{2}$的距离之比为$\frac{{\sqrt{2}}}{2}$；
（1）求动点P的轨迹方程；
（2）设O为原点，若点A在直线y=2上，点B在椭圆C上，且OA⊥OB，求线段AB长度的最小值．

Answer 1

分析 （1）利用直接法求动点P的轨迹方程；
（2）先表示出线段AB长度，再利用基本不等式，求出最小值．

解答 解　（1）设P（x，y），则
∵动点P到点F（$\sqrt{2}$，0）的距离与它到直线x=2$\sqrt{2}$的距离之比为$\frac{{\sqrt{2}}}{2}$，
∴$\frac{\sqrt{（x-\sqrt{2}）^{2}+{y}^{2}}}{|x-2\sqrt{2}|}$=$\frac{{\sqrt{2}}}{2}$，
化简可得动点P的轨迹方程为$\frac{{x}^{2}}{4}+\frac{{y}^{2}}{2}$=1，
（2）设点A，B的坐标分别为（t，2），（x₀，y₀），其中x₀≠0．
因为OA⊥OB，所以$\overrightarrow{OA}$•$\overrightarrow{OB}$=0，
即tx₀+2y₀=0，解得t=-$\frac{2{y}_{0}}{{x}_{0}}$．
又x₀²+2y₀²=4，
所以|AB|²=（x₀-t）²+（y₀-2）²
=（x₀-t）²+（y₀-2）²
=$\frac{{{x}_{0}}^{2}}{2}$+$\frac{8}{{{x}_{0}}^{2}}$+4（0＜x₀²≤4）．
因为$\frac{{{x}_{0}}^{2}}{2}$+$\frac{8}{{{x}_{0}}^{2}}$≥4（0＜x₀²≤4），且当x₀²=4时等号成立，
所以|AB|²≥8．
故线段AB长度的最小值为2$\sqrt{2}$．

点评 本题考查轨迹方程，考查基本不等式的运用，考查学生的计算能力，属于中档题．