Question

已知函数f（x）=alnx-ax-3（a∈R）．
（1）求函数f（x）的单调区间；
（2）函数y=f（x）的图象在x=4处的切线的斜率为，若函数g（x）=x³+x²[f′（x）+]在区间（1，3）上不是单调函数，求m的取值范围．

Answer 1

解　（1）f′（x）=（x＞0），
①当a＞0时，若x∈（0，1），则f′（x）＞0；若x∈（1，+∞），则f′（x）＜0，
∴当a＞0时，f（x）的单调递增区间为（0，1]，单调递减区间为[1，+∞）；
②当a＜0时，若x∈（1，+∞），则f′（x）＞0；若x∈（0，1），则f′（x）＜0，
∴当a＜0时，f（x）的单调递增区间为[1，+∞），单调递减区间为（0，1]；
③当a=0时，f（x）=-3，f（x）不是单调函数，无单调区间．
（2）由题意知，f′（4）=-=，得a=-2，则f（x）=-2lnx+2x-3，
∴g（x）==x³+（+2）x²-2x，
∴g′（x）=x²+（m+4）x-2．
∵g（x）在区间（1，3）上不是单调函数，且g′（0）=-2＜0，
∴，即解得．
故m的取值范围是（-，-3）．
分析：（1）求导数f′（x），利用导数与函数单调性的关系分情况讨论即可．
（2）由切线斜率为，可求出a值，进而求出f（x）、f′（x），因为g（x）在区间（1，3）上不单调，所以g′（x）改变符号，从而得到m所满足的条件．
点评：本题考查了导数与函数单调性的关系，利用导数解决问题的能力，注意数形结合思想的应用．