Question

【题目】已知函数f（x）=x2﹣1．
（1）对于任意的1≤x≤2，不等式4m2|f（x）|+4f（m）≤|f（x﹣1）|恒成立，求实数m的取值范围；
（2）若对任意实数x1∈[1，2]．存在实数x2∈[1，2]，使得f（x1）=|2f（x2）﹣ax2|成立，求实数a的取值范围．

Answer 1

【答案】
（1）解：对于任意的1≤x≤2，不等式4m2|f（x）|+4f（m）≤|f（x﹣1）|恒成立，

即为4m2（|x2﹣1|+1|≤4+|x2﹣2x|，

由1≤x≤2，可得4m2≤ ，

由g（x）= =4（ + ）2﹣ ，

当x=2，即 = 时，g（x）取得最小值，且为1，

即有4m2≤1，解得﹣ ≤m≤ ；

（2）解：对任意实数x1∈[1，2]．

存在实数x2∈[1，2]，使得f（x1）=|2f（x2）﹣ax2|成立，

可设f（x）在[1，2]的值域为A，h（x）=|2f（x）﹣ax|的值域为B，

可得AB．

由f（x）在[1，2]递增，可得A=[0，3]；

当a＜0时，h（x）=|2x2﹣ax﹣2|=2x2﹣ax﹣2，（1≤x≤2），

在[1，2]递增，可得B=[﹣a，6﹣2a]，

可得﹣a≤0＜3≤6﹣2a，不成立；

当a=0时，h（x）=2x2﹣2，（1≤x≤2），

在[1，2]递增，可得B=[0，6]，

可得0≤0＜3≤6，成立；

当0＜a≤2时，由h（x）=0，解得x= ＞1（负的舍去），

h（x）在[1， ]递减，[ ，2]递增，

即有h（x）的值域为[0，h（2）]，即为[0，6﹣2a]，

由0≤0＜3≤6﹣2a，解得0＜a≤ ；

当2＜a≤3时，h（x）在[1， ]递减，[ ，2]递增，

即有h（x）的值域为[0，h（2）]，即为[0，a]，

由0≤0＜3≤a，解得a=3；

当3＜a≤4时，h（x）在[1，2]递减，可得B=[2a﹣6，a]，

由2a﹣6≤0＜3≤a，无解，不成立；

当4＜a≤6时，h（x）在[1， ]递增，在[ ，2]递减，可得B=[2a﹣6，2+ ]，

由2a﹣6≤0＜3≤2a，不成立；

当6＜a≤8时，h（x）在[1， ]递增，在[ ，2]递减，可得B=[a，2+ ]，

由a≤0＜3≤2a，不成立；

当a＞8时，h（x）在[1，2]递增，可得B=[a，2a﹣6]，

AB不成立．

综上可得，a的范围是0≤a≤ 或a=3．

【解析】（1）由题意可得4m2（|x2﹣1|+1|≤4+|x2﹣2x|，由1≤x≤2，可得4m2≤ ，运用二次函数的最值的求法，可得右边函数的最小值，解不等式可得m的范围；（2）f（x）在[1，2]的值域为A，h（x）=|2f（x）﹣ax|的值域为B，由题意可得AB．分别求得函数f（x）和h（x）的值域，注意讨论对称轴和零点，与区间的关系，结合单调性即可得到值域B，解不等式可得a的范围．
【考点精析】利用二次函数的性质对题目进行判断即可得到答案，需要熟知当时，抛物线开口向上，函数在上递减，在上递增；当时，抛物线开口向下，函数在上递增，在上递减．