Question

13．若不等式2xlnx≥-x²+ax-3对x∈（0，+∞）恒成立，则实数a的取值范围是（-∞，4]．

Answer 1

分析 由已知可得a≤x+2lnx+$\frac{3}{x}$，x＞0，令y=x+2lnx+$\frac{3}{x}$，利用导数求出x=1时，y取最小值4，由此可得实数a的取值范围．

解答 解：∵2xlnx≥-x²+ax-3对x∈（0，+∞）恒成立，
∴a≤x+2lnx+$\frac{3}{x}$，x＞0，
令y=x+2lnx+$\frac{3}{x}$，
则y′=1+$\frac{2}{x}$-$\frac{3}{{x}^{2}}$=$\frac{{x}^{2}+2x-3}{{x}^{2}}$，
由y′=0，得x₁=-3，x₂=1，
当x∈（0，1）时，y′＜0，函数y=x+2lnx+$\frac{3}{x}$为减函数；
当x∈（1，+∞）时，y′＞0，函数y=x+2lnx+$\frac{3}{x}$为增函数．
∴x=1时，y_min=1+0+3=4．
∴a≤4．
∴实数a的取值范围是（-∞，4]．
故答案为：（-∞，4]．

点评 本题考查恒成立问题，训练了利用导数求函数的最值，训练了分离变量法，是中档题．