Question

已知圆C方程为：（x-2m-1）²+（y-m-1）²=4m²（m≠0）
（1）求证：当m变化时，圆C的圆心在一定直线上；（2）求（1）中一系列圆的公切线的方程．

Answer 1

分析：（1）根据圆的标准方程，可写出圆心坐标，进而消去参数，即可证明；
（2）分斜率存在与不存在进行讨论，利用直线与圆相切，圆心到直线距离等于半径长求解即可．

解答：证明：（1）由

a=2m+1 b=m+1

消去m得a-2b+1=0．故这些圆的圆心在直线x-2y+1=0上．
解：（2）设公切线方程为y=kx+b，则由直线与圆相切有
2|m|=

|k(2m+1)-(m+1)+b|

1+k2

，对一切m≠0成立．
即（-4k-3）m²+2（2k-1）（k+b-1）m+（k+b-1）²=0对一切m≠0恒成立
所以

-4k-3=0 k+b-1=0

即

k=- 3 4 b- 7 4 .

当k不存在时，圆心到直线为x=1的距离为2|m|，即半径，故x=1也是一系列圆的公切线．
所以公切线方程y=-

3

4

x+

7

4

和x=1．

点评：本题以圆的标准方程为载体，考查圆心的轨迹，考查直线与圆相切，有一定难度．