Question

已知函数f（x）对任意实数x都有f（x+1）+f（x）=1，且当x∈[0，2]时，f（x）=|x-1|．
（1）当x∈[2k，2k+2]（k∈Z）时，求f（x）的表达式．
（2）证明f（x）是偶函数．
（3）试问方程是否有实数根？若有实数根，指出实数根的个数；若没有实数根，请说明理由．

Answer 1

解：（1）对任意实数x，满足f（x）=1-f（x+1）=1-[1-f（x+2）]=f（x+2）=1-f（x+3）=1-[1-f（x+4）]=f（x+4）=…，
也就是有f（x）=f（x+2T），其中T属于z．即f（x）是一个周期为2的周期函数．
对于任意x属于[2k，2k+2]，有x-2k属于[0，2]，则
f（x）=f（x-2k）=|（x-2k）-1|=|x-2k-1|
所以，x∈[2k，2k+2]（k∈Z）时，f（x）=|x-2k-1|
f（x）=|x-2k-1|（2k≤x≤2k+2，k∈Z）
（2）由（1）可知函数是个周期为2的周期函数，
可将f（x）通式写为f（x）=|x-2k-1|，x∈[2k，2k+2]
取x∈[2k，2k+2]则-x∈[-2k-2，-2k]
那么：f（-x）=|-x-（-2k-1）|=|-x+2k+1|
=|x-2k-1|=f（x） 所以是偶函数．
（3）方程化为f（x）=log₄ x，
log₄ x=|x-2k-1|，x∈[2k，2k+2]，如图

x=4时方程有一个根，x＞4时，方程无根，
方程在[1，4]上有3个实根．
分析：（1）推出函数的周期，通过当x∈[2k，2k+2]（k∈Z）时，利用已知函数的表达式，直接求f（x）的表达式．
（2）利用（1）通过f（-x）=|-x-（-2k-1）|=|-x+2k+1|=|x-2k-1|=f（x） 证明f（x）是偶函数．
（3）化简方程，构造两个函数，画出函数的图象，即可判断方程是否有实数根，指出实数根的个数．
点评：本题是中档题，函数解析式的求法，偶函数的判断，函数的零点与方程的根的关系，考查计算能力，作图能力．