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已知：函数 $数学公式$ ，数列{a_n}对n≥2，n∈N总有 $数学公式$ ；
（1）求{a_n}的通项公式．
（2）求和：S_n=a₁a₂-a₂a₃+a₃a₄-a₄a₅+…+（-1）^n-1a_na_n+1
（3）若数列{b_n}满足：①{b_n}为 $数学公式$ 的子数列（即{b_n}中的每一项都是 $数学公式$ 的项，且按在 $数学公式$ 中的顺序排列）②{b_n}为无穷等比数列，它的各项和为 $数学公式$ ．这样的数列是否存在？若存在，求出所有符合条件的数列{b_n}，写出它的通项公式，并证明你的结论；若不存在，说明理由．

解：（1）由 $\text{[math]}$ ，又 $\text{[math]}$ （2分）
所以，{a_n}是以a₁=1为首项， $\text{[math]}$ 为公差的等差数列，即 $\text{[math]}$ （n∈N^*）（4分）
（2）当n为偶数， $\text{[math]}$
所以 $\text{[math]}$ （6分）
当n为奇数，则n-1为偶数， $\text{[math]}$ （8分）
综上： $\text{[math]}$ （10分）
（3）设 $\text{[math]}$ ，公比 $\text{[math]}$ ，则 $\text{[math]}$ （k，p∈N^*）对任意的n∈N^*均成立，故m是正奇数，又S存在，所以m＞1（12分）
当m=3时， $\text{[math]}$ ，此时 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ，成立（13分）
当m=5时， $\text{[math]}$ ，此时 $\text{[math]}$ 故不成立（14分）
m=7时， $\text{[math]}$ ，此时 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ，成立（15分）
当m≥9时， $\text{[math]}$ ，由 $\text{[math]}$ ，得 $\text{[math]}$ ，设 $\text{[math]}$ ，则 $\text{[math]}$ ，又因为k∈N^*，所以k=1，2，此时b₁=1或 $\text{[math]}$ 分别代入 $\text{[math]}$ ，得到q＜0不合题意（18分）
由此，满足条件（3）的{b_n}只有两个，即 $\text{[math]}$ 或 $\text{[math]}$ （20分）
分析：（1）直接根据已知条件整理得到数列的递推关系式，进而得到数列的规律，即可求出{a_n}的通项公式．
（2）分n为偶数和n为奇数分别求和，最后再合并即可得到结论；
（3）先设 $\text{[math]}$ ，公比 $\text{[math]}$ ，得到 $\text{[math]}$ （k，p∈N^*）对任意的n∈N^*均成立，故m是正奇数，又S存在，所以m＞1；再对m的取值进行讨论，即可得到所有符合条件的数列{b_n}，写出它的通项公式．
点评：本题是对数列知识的综合考查．其中涉及到数列的递推式，以及数列的求和，属于综合性题目，考查计算能力以及分析能力．

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10、已知奇函数f（x）的定义域为R，且是以2为周期的周期函数，数列{a_n}是首项为1，公差为1的等差数列，则f（a₁）+f（a₂）+…+f（a₁₀）的值为（　　）

A、0

B、1

C、-1

D、2

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已知幂函数y=xm2-2m-3(m∈N+)的图象与x轴，y轴无交点且关于原点对称，又有函数f（x）=x²-alnx+m-2在（1，2]上是增函数，g（x）=x-a

在（0，1）上为减函数．
①求a的值；
②若

p(x)

=2f′(x)-2x+

+1，数列{a_n}满足a₁=1，a_n+1=p（a_n），（n∈N₊），数列{b_n}，满足bn=

anan+13n，s_n=b₁+b₂+b₃+…+b_n，求数列{a_n}的通项公式a_n和s_n．
③设h(x)=f′(x)-g(x)-2

，试比较[h（x）]ⁿ+2与h（xⁿ）+2ⁿ的大小（n∈N₊），并说明理由．

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（2013•辽宁一模）已知幂函数y=f（x）过点（4，2），令a_n=f（n+1）+f（n），n∈N₊，记数列{

}的前n项和为S_n，则S_n=10时，n的值是（　　）

A．110

B．120

C．130

D．140

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设二次函数f(x)=(k-4)x2+kx

&(k∈R)

，对任意实数x，f（x）≤6x+2恒成立；正数数列{a_n}满足a_n+1=f（a_n）．
（1）求函数f（x）的解析式和值域；
（2）试写出一个区间（a，b），使得当a_n∈（a，b）时，数列{a_n}在这个区间上是递增数列，并说明理由；
（3）若已知，求证：数列{lg(

-an)+lg2}是等比数列．

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已知过函数f（x）=x²+bx图象上点A（1，f（1））的直线l与直线3x-y+2=0平行，且直线l与函数图象只有一个交点．又数列

f(n)

（n∈N^*）的前n项和为S_n，则S₂₀₁₂的值为

．

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