Question

【题目】已知数列{an}中，a1=2，a2=4，设Sn为数列{an}的前n项和，对于任意的n＞1，n∈N* ， Sn+1+Sn﹣1=2（Sn+1）．
（1）求数列{an}的通项公式；
（2）设bn= ，求{bn}的前n项和Tn ．

Answer 1

【答案】
（1）解：对于任意的n＞1，n∈N*，Sn+1+Sn﹣1=2（Sn+1），Sn+2+Sn=2（Sn+1+1），

相减可得：an+2+an=2an+1．（*）

又n=2时，S3+S1=2（S2+1），即2a1+a2+a3=2（a1+a2+1），a1=2，a2=4，解得a3=6．

∴n=1时（*）也满足．

∴数列{an}是等差数列，公差为2，

∴an=2+2（n﹣1）=2n

（2）解：bn= = = ，

∴{bn}的前n项和Tn= +…+ ，

= + +…+ + ，

可得： = +…+ ﹣ = ﹣ ，

∴Tn= ﹣

【解析】（1）利用数列递推关系、等差数列的通项公式即可得出．（2）利用“错位相减法”与等比数列的求和公式即可得出．
【考点精析】关于本题考查的数列的前n项和和数列的通项公式，需要了解数列{an}的前n项和sn与通项an的关系；如果数列an的第n项与n之间的关系可以用一个公式表示，那么这个公式就叫这个数列的通项公式才能得出正确答案．