解:(Ⅰ)如图,
由题意得F
2(1,0),F
1(-1,0),设P(x
0,y
0),则Q(x
0,-y
0),
则
,
.
由
,
得
,即
①
又P(x
0,y
0)在抛物线上,则
②
联立①、②得,
,解得:x
0=2.
所以点T的横坐标x
0=2.
(Ⅱ)(ⅰ)设椭圆的半焦距为c,由题意得c=1,
设椭圆C的标准方程为
,
因椭圆C过点
,
则
③
又a
2=b
2+1 ④
将④代入③,解得b
2=1或
(舍去)
所以a
2=b
2+1=2.
故椭圆C的标准方程为
.
(ⅱ)1)当直线l的斜率不存在时,即λ=-1时,
,
,
又T(2,0),所以
;
2)当直线l的斜率存在时,即λ∈[-2,-1)时,设直线l的方程为y=k(x-1).
由
,得(1+2k
2)x
2-4k
2x+2k
2-2=0
设A(x
1,y
1),B(x
2,y
2),显然y
1≠0,y
2≠0,则由根与系数的关系,
可得:
,
.
⑤
⑥
因为
,所以
,且λ<0.
将⑤式平方除以⑥式得:
由λ∈[-2,-1),得
,即
.
故
,解得
.
因为
,所以
,
又
,
故
=
.
令
,因为
,所以
,即
,
所以
.
所以
综上所述:
.
分析:(Ⅰ)由题意得到F
1和F
2的坐标,设出P,Q的坐标,然后直接利用
进行求解;
(Ⅱ)①设出椭圆标准方程,利用椭圆过点
,结合a
2=b
2+1 即可求得a
2,b
2的值,则椭圆方程可求;
②当直线斜率不存在时,直接求解A,B的坐标得到
的值,当直线斜率存在时,设出直线方程,和椭圆方程联立后,利用
,消掉点的坐标得到λ与k的关系,根据λ的范围求k的范围,然后把
转化为含有k的函数式,最后利用基本不等式求出
的取值范围.
点评:本题考查了椭圆的标准方程,考查了直线与圆锥曲线的关系,训练了平面向量数量积的运算,考查了分类讨论的数学解题思想,训练了利用基本不等式求最值,考查了学生的计算能力,是难度较大的题目.