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17.求函数y=3sin($\frac{π}{3}$-$\frac{x}{2}$)的
(1)单调区间;
(2)最值及取得最值时的x的取值集合;
(3)对称轴,对称中心.

分析 (1)先将函数化为f(x)=-3sin($\frac{x}{2}$-$\frac{π}{3}$),再根据正弦函数的单调区间确定该函数的单调区间;
(2)分别令$\frac{x}{2}$-$\frac{π}{3}$=2kπ+$\frac{π}{2}$或2kπ+$\frac{3π}{2}$,使得函数取最小值与最大值,从而求出x;
(3)分别令$\frac{x}{2}$-$\frac{π}{3}$=kπ+$\frac{π}{2}$或kπ,求得函数的对称轴和对称中心.

解答 解:(1)f(x)=-3sin($\frac{x}{2}$-$\frac{π}{3}$),
令$\frac{x}{2}$-$\frac{π}{3}$∈[2kπ-$\frac{π}{2}$,2kπ+$\frac{π}{2}$],解得x∈[4kπ-$\frac{π}{3}$,4kπ+$\frac{5π}{3}$],
即函数的单调递减区间为:[4kπ-$\frac{π}{3}$,4kπ+$\frac{5π}{3}$](k∈Z);
令$\frac{x}{2}$-$\frac{π}{3}$∈[2kπ+$\frac{π}{2}$,2kπ+$\frac{3π}{2}$],解得x∈[4kπ+$\frac{5π}{3}$,4kπ+$\frac{11π}{3}$],
即函数的单调递增区间为:[4kπ+$\frac{5π}{3}$,4kπ+$\frac{11π}{3}$](k∈Z);
(2)函数的最大值为3,此时sin($\frac{x}{2}$-$\frac{π}{3}$)=-1,
令$\frac{x}{2}$-$\frac{π}{3}$=2kπ+$\frac{3π}{2}$,解得x=4kπ+$\frac{11π}{3}$(k∈Z);
函数的最大值为-3,此时sin($\frac{x}{2}$-$\frac{π}{3}$)=1,
令$\frac{x}{2}$-$\frac{π}{3}$=2kπ+$\frac{π}{2}$,解得x=4kπ+$\frac{5π}{3}$(k∈Z).
(3)令$\frac{x}{2}$-$\frac{π}{3}$=kπ+$\frac{π}{2}$,解得x=2kπ+$\frac{5π}{3}$,
即函数的对称轴方程为:x=2kπ+$\frac{5π}{3}$(k∈Z);
再令$\frac{x}{2}$-$\frac{π}{3}$=kπ,解得x=2kπ+$\frac{2π}{3}$,
即函数的对称中心为(2kπ+$\frac{2π}{3}$,0)(k∈Z);

点评 本题主要考查了三角函数单调区间的解法,涉及三角函数的图象与性质,尤其是值域,对称中心和对称轴,属于中档题.

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